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Problem solving con homotecia
Como se sabe, la perspectiva transformacional en geometría permite el movimiento de las figuras y la transferencia de propiedades desde la figura a la figura transformada. De esta manera, la utilidad principal de esta perspectiva es la simplificación del problema, a la manera de un cambio de variable en álgebra. Voy a discutir en este post el caso de la homotecia (una transformación geométrica de muy bajo perfil en las matemáticas escolares) y su uso en el problem solving elemental a través de varios teoremas básicos de la geometría.
Cuatro problemas geométricos resueltos vía congruencia de triángulos
Uno de estos días abrimos en la Universidad (de Tamaulipas) un taller sabatino denominado “Taller de ciencia para jóvenes”. Acudieron a la convocatoria dos profesores de secundaria con 7 alumnos y un profesor jubilado.
El que esto escribe estuvo a cargo de la primera sesión con la intención de empezar a desarrollar el tema “Números complejos y Geometría Euclideana”, un tema que me parece muy productivo para la solución de problemas geométricos desde un punto de vista algebraico.
Dos problemas de construcción --con homotecia obligada
En un post anterior se plantearon dos problemas de construcción para ilustrar el poder de la homotecia en el problem solving de geometría. Aquí voy a resolverlos y a comentarlos, dado que --según creo-- merecen un post aparte. ("A: ¿Quieres decir que a la homotecia se le cocina aparte?" "JMD: Bueno, creo que lo que quiero decir es que el chiste no está en la homotecia misma, sino en saberla menear.")
Primer problema
Sea dado un ángulo y un punto en su interior. Construir una circunferencia tangente a los lados del ángulo y que pase por el punto.
Solución y discusión del primer problema
Recíproco de Tales y el criterio LAL de semejanza
El teorema de Tales para triángulos es bastante intuitivo pues recurre a la conocida configuración de las paralelas y la transversal: si paralela a la base, entonces los segmentos son proporcionales.
Sin embargo, el recíproco de Tales nos dice que si los segmentos que determina una transversal en dos lados de un triángulo son proporcionales, entonces esa transversal es paralela al tercer lado.
Transformación geométrica de una circunferencia
Sean dadas dos circunferencias de radios diferentes y una afuera de la otra, y $H$ la intersección de sus tangentes exteriores comunes. Demostrar que para cualquier punto $A$ en una de las circunferencias, existe un punto $B$ en la otra de tal manera que $HA\cdot{HB}=HP\cdot{HQ}$, donde $P,Q$ son los puntos de tangencia de una de las tangentes comunes.
Transformación geométrica de una recta
Sean dadas una circunferencia de radio $r$ y centro $O$, y una recta $l$. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $Y$ tales que $OX\cdot OY=r^2$, cuando $X$ se mueve sobre $l$.
Transformación geométrica de un punto
Sean dados una circunferencia de centro $O$ y radio $r$, y un punto $A$ en su interior distinto de $O$. Encontrar un punto $B$ en el plano de tal manera que $OA\cdot{OB}=r^2$. Justifica tu respuesta demostrando la validez del procedimiento que ubica el punto $B$.
Construcción de las simedianas
Considérese el circuncírculo del triángulo $ABC$. Demostrar que si $D$ es la intersección de las tangentes al circuncírculo por $B$ y $C$, entonces $AD$ es el reflejo de la mediana del triángulo por $A$, en el espejo de la bisectriz de $A$.
Una comunicación que calla: sobre el concepto de antiparalelas
Voy a ilustrar en este post la multiplicidad de conexiones que un cognizador debería establecer con una teoría previa en el momento de resolver (o estudiar la solución a) un problema de matemáticas escolares. Sostengo que la forma condensada de presentar las soluciones es una forma reticente de comunicar --así sea de manera involuntaria o por razones de estilo de redacción.
Antiparalelas
Dos rectas se dicen antiparalelas, respecto a un ángulo de referencia, si forman el mismo ángulo en lados opuestos de la bisectriz de ese ángulo.
Demostrar que:
