Publicaciones Recientes

Problema

Dos perpendiculares seccionan un cuadrado

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 21:30.

Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen cada una área igual a 1. Demostrar que el área del cuadrado es cuatro.

Problema

Sumas de 14 más menos unos

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 21:29.

A cada vértice de un cubo se asigna el valor de +1 o -1, y a cada cara el producto de los valores asignados a cada vértice. ¿Qué valores puede tomar la suma de los 14 números así obtenidos?

Problema

Propiedad de un polinomio cúbico

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 18:05.

Sea f(x) un polinomio de grado 3 con coeficientes racionales. Probar que si el gráfico de f es tangente al eje x, entonces f(x) tiene sus 3 raíces racionales.

Problema

Recorridos en un tablero

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 18:03.

Sean A y B vértices opuestos de un tablero cuadriculado de n por n casillas (n1), a cada una de las cuales se añade su diagonal de dirección AB, formándose así 2n2 triángulos iguales. Se mueve una ficha recorriendo un camino que va desde A hasta B formado por segmentos del tablero, y se coloca, cada vez que se recorre, una semilla en cada uno de los triángulos que admite ese segmento como lado.

Problema

¿Cómo se demuestra circunferencia ortogonal?

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 18:01.

Sean C1 una circunferencia, AB uno de sus diámetros, t su tangente en B, y M un punto de C1 distinto de A. Se construye una circunferencia C2 tangente a C1 en M y a la recta t.

  • a) Determinar el punto P de tangencia de t y C2 y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias al variar M.
  • b) Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias C2.

NOTA: Dos circunferencias son ortogonales si se cortan y las tangentes respectivas en los puntos de intersección son perpendiculares.

Problema

Divisibilidad de un polinomio

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 17:59.

Sea f(x)=(x+b)2c, un polinomio con b y c números enteros.

  • a) Si p es un número primo tal que p divide a c y p2 no divide a c, demostrar que, cualquiera que sea el número entero n, p2 no divide a f(n).
  • b) Sea q un número primo, distinto de 2, que divide a c. Si q divide a f(n) para algún número entero n, demostrar que para cada entero positivo r existe un número entero n tal que qr divide a f(n).
Problema

Criterio de potencia para cíclico

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 17:57.

En un triángulo ABC, sean I el centro de la circunferencia inscrita y D,E y F sus puntos de tangencia con los lados BC,AC y AB, respectivamente. Sea P el otro punto de intersección de la recta AD con la circunferencia inscrita. Si M es el punto medio de EF, demostrar que los cuatro puntos P,I,M y D pertenecen a una misma circunferencia.

Problema

Una función recursiva

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 17:55.

Sea f una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:

  • (I) Si n=2j1, para n=0,1,2,, entonces f(n)=0
  • (II) Si n2j1,paran=0,1,2,,entoncesf(n+1) = f(n) -1$.

a) Demostrar que para todo entero n, mayor o igual que cero, existe un entero k, mayor que cero, tal que f(n)+n=2k1
b) Calcular f(21990)

Problema

Los 100 nueves!!!

Enviado por cuauhtemoc el 9 de Diciembre de 2011 - 17:44.

Encuentra las ultimas 4 cifras del numero que se forma al sumar 9+99+999+9999+99999+999999+..........+ 999......999 (el ultimo numero esta formado por 100 nueves).

Problema

Soluciones infinitas

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 11:09.

 Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación
2x^2 - 3x = 3y^2: 2x23x+1=3y2+y

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