Publicaciones Recientes
P3. OMM 1989. Número de 1989 cifras
Pruebe que no existe un número positivo de 1989 cifras que tenga al menos tres de ellas iguales a 5 y tal que la suma de todas las cifras sea igual al producto de las mismas.
P2. OMM 1989. Múltiplos encadenados
Encuentre dos números enteros $a$ y $b$ tales que:
- $b^2$ es múltiplo de $a$;
- $a^3$ es múltiplo de $b^2$;
- $b^4$ es múltiplo de $a^3$;
- $a^5$ es múltiplo de $b^4$;
- pero $b^6$ no es múltiplo de $a^5$.
P1. OMM 1989. Áreas y medianas
Considere un triángulo $ABC$ en el que la longitud del lado $AB$ es 5, las medianas por $A$ y por $B$ son perpendiculares entre sí y el área es 18. Hallar las longitudes de los lados $BC$ y $AC$.
P8. OMM 1988. Esfera en octaedro
Calcule el volumen del octaedro que circunscribe a una esfera de radio 1.
P7. OMM 1988. Subconjuntos ajenos de {1,2,...,m}
Si $A$ y $B$ son subconjuntos ajenos del conjunto $\{1,2,\ldots,m\}$ y la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B$, pruebe que el número de elementos de $A$ y también de $B$ es menor que $m/\sqrt{2}$
P6. OMM 1988. Lugar geométrico del incentro
Considere dos puntos fijos $B$ y $C$ de una circunferencia $W$. Encuentre el lugar geométrico de las intersecciones de las bisectrices de los triángulos $ABC$, cuando $A$ es un punto que recorre $W$.
P5. OMM 1988. Manipulación algebraica con el MCD
Si $a$ y $b$ son dos enteros positivos primos relativos y $ n $ es un entero, pruebe que el máximo común divisor de $a^2+b^2-nab$ y $a+b$ divide a $n+2$
P4. OMM 1988. Ocho enteros entre uno y ocho
¿Cuántas maneras hay de escoger ocho enteros $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_8$ no necesariamente distintos, tales que $1\leq{a_1}\leq\ldots\leq{a_8}\leq8$?
P3. OMM 1988. Área de triángulo de tangentes comunes
Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
P2. OMM 1988. Expresiones equiresiduales (módulo 19)
Si $a$ y $b$ son enteros positivos, pruebe que 19 divide a $11a+2b$ si y sólo si 19 divide a $18a+5b$
