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Triángulo aritmético
Sea dado el triángulo aritmético
0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993
1 3 5 7...................... 3983 3985
4 8 12............................. 7968
...
(donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Demostrar que el último número es múltiplo de 1993.
Pichoneras de nacionalidad, edad y sexo
En una reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo país, de la misma edad y del mismo sexo.
Memes educativos
En estos días de diciembre me enteré que en la facultad cerraron la licenciatura en historia --debido a su baja eficiencia terminal. La profesora (de esa licenciatura clausurada) que me lo comunicó es licenciada en comunicación por la universidad --la acotación es pertinente porque la implicatura es que participa de su cultura.
Ella justificaba la decisión de la siguiente manera: "es que en Tamaulipas somos más pragmáticos... y los doctores quieren formarlos (a los egresados) en investigación... y a los alumnos simplemente no les entran los temas teóricos como filosofía de la historia o historia del arte."
Segmentos formados por n puntos
Se tienen n puntos distintos A1,A2,…,An en el plano y a cada punto Ai se ha asignado un número real λ distinto de cero, de manera que ¯AiAj2=λi+λj, para todos los i,j,i≠j
Demuestre que
(a) n≤4
(b) Si n=4, entonces 1λ1+1λ2+1λ3+1λ4=0
Coloreo de triángulos con fichas
Tres fichas A,B,C están situadas una en cada vértice de un triángulo equilátero de lado n. Se ha dividido el triángulo en triangulitos equiláteros de lado 1, tal como muestra la figura en el caso n=3.
Inicialmente todas las líneas de la figura están pintadas de azul. Las fichas se desplazan por las líneas, pintando de rojo su trayectoria, de acuerdo con las dos reglas siguientes:
Suma de fracciones 1/ab
Dado un número natural n≥2 considere todas las fracciones de la forma 1/ab, donde a y b son números naturales, primos entre sí y tales que a<b≤n a+b>n Demuestre que para cada n, la suma de estas fracciones es 1/2.
Método para distribuir ceros y unos en un tablero
Tenemos un tablero cuadriculado de k2−k+1 filas y k2−k+1 columnas, donde k=p+1 y p es un número primo. Para cada primo p, dé un método para distribuir números entre 0 y 1, un número en cada casilla del tablero, de modo que en cada fila haya exactamente k números 0 en cada columna haya exactamente k números 0 y además no haya ningún rectángulo de lados paralelos a los lados del tablero con números 0 en sus cuatro vértices.
Punto medio de la mediana
Sea M el punto medio de la mediana AD del triángulo ABC (D pertenece al lado BC). La recta BM corta al lado AC en el punto N. Demuestre que AB es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo NBC si, y sólo si, se verifica la igualdad BMMN=(BCBN)2
Cubo formado por 1996 cubos
Sea n un número natural. Un cubo de arista n puede ser dividido en 1996 cubos cuyas aristas son también números naturales. Determine el menor valor posible de n.
Grado de repulsión de una función circular
Una función f:N↦N es circular si para cada p en N existe n en N con n≤p tal que:
fn(p)=f(f(…f(p)…)))⏟nveces=p
La función f tiene grado de repulsión k, 0<k<1, si para cada p en N, fi(p)≠p para i≤[k⋅p]. Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular. Nota: [x] indica el mayor entero menor o igual que x.
