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P1. Ecuación cuadrática con sumatoria
Resultados XXXVII OMM
Hola, les escribo desde mi casa XD, el día de hoy llegamos a Tamaulipas desde Durango, llegamos a las 7:00 am. La verdad, desde mi punto de vista como participante, el nacional estuvo muy triste, pude haber hecho más. Desde mi punto de vista como persona, es que esta olimpiada estuvo bastante bien como las demás, en los últimos 5 años Tamaulipas no ha caído en el rankin como solía hacerlo en años pasados, manteniendose siempre entre los mejores 16 del país, y en 2 ocasiones entrando en los mejores 8.
Esta año, Tamaulipas quedó en 11° lugar, con los siguientes resultados:
P6 Primer problema real de funcionales
Sea N el conjunto de los enteros positivos {1, 2, ...}. Determina todas las funciones f:N→N tales que cualesquiera m,n∈N se cumple al mismo tiempo que:
f(m+n) | f(m)+f(n) f(m)f(n) | f(mn)
Nota: a|b quiere decir que el número entero a divide al número entero b.
P5 Concurrencia de 2 círculos y 1 segmento
Sean ABC un triángulo acutángulo, Γ su circuncírculo y O su circuncentro. Sea F el punto en AC tal que ∠COF=∠ACB, donde F y B están de lados opuestos respecto a CO. La recta FO corta a BC en G. La paralela a BC por A interseca a Γ de nuevo en M. Las rectas MG y CO se cortan en K. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos BGK y AOK concurren en AB.
P4 Un mago y sus fichas B/N
Dada una colección de varias fichas que pueden ser negras o blancas y que tienen, cada una, un número escrito en ellas, un mago hace el siguiente movimiento: Toca 2 de las fichas con distinto número y color, y la de número menor se convierte en una ficha idéntica a la otra.
Sea n un entero mayor o igual a 2. Para cada uno de los movimientos del 1 al n, el mago pone en la mesa una ficha negra o blanca con ese número. Luego hace su movimiento para ir modificando la colección.
P3 Regresa la Geo a la OMM
Sea ABCD un cuadrilátero convexo. Si M,N,K son los puntos medios de los segmentos AB, BC y CD respectivamente, y además existe un punto P dentro del cuadrilátero ABCD tal que, ∠BPN=∠PAD y ∠CPN=∠PDA. Demuestra que AB⋅CD = 4PM⋅PK
P2 Germán y su obsesión con los polígonos regulares.
Los números del 1 al 2000 se encuentran colocados sobre los vértices de un polígono regular de 2000 lados, uno en cada vértice, de manera que se cumple lo siguiente: Si cuatro enteros A,B,C,D cumplen que 1≤A<B<C<D≤2000, entonces el segmento que une los vértices donde están los números A y B y el segmento que une los vértices donde están C y D no se intersectan en el interior del polígono. Demuestra que existe un entero positivo que es un cuadrado perfecto tal que el número diametralmente opuesto a él no es un número cuadrado perfecto.
P1 OMM 37
Encuentra todos los números de 4 dígitos tales que la suma de los cuadrados de sus dígitos es igual al doble de la suma de sus dígitos.
3.- Ortocentro como Punto Medio
Sean ABC un triángulo acutángulo, H su ortocentro y M el punto medio de BC. La perpendicular a MH por H corta a AB en L y a AC en N. Demuestra que LH=HN.
NOTA: El ortocentro es la intersección de las alturas del triáungulo.
Un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus 3 ángulos agudos.
2.- Un 2024-ágono y sus diagonales
Cada diagonal de un polígono regular de 2024 lados se va a pintar con un color, de manera que dos diagonales que se intersecten dentro del polígono sean de distinto color. ¿Cuál es el mínimo número de colores necesarios para cumplir esta tarea?
