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Ortocentro, reflexión axial, circuncírculo
Demostrar que, en cualquier triángulo, el punto simétrico del ortocentro respecto a un lado es un punto del circuncírculo.
PISA 2009, OCDE-recomendaciones 2010, y efecto Casandra
En este post sugiero la razón por la que una de las recomendaciones de la OCDE para evitar el triste futuro (y presente) educativo de México es imposible de realizar, e incluyo uno de los problemas de matemáticas de PISA 2009, la evaluación internacional de la OCDE que mide el estado de la educación de los países miembros.
Divisibilidad entre el producto de tres primos (P6)
Sean p,q,r números primos positivos distintos. Muestra que si pqr divide a (pq)r+(qr)p+(rp)q−1 entonces (pqr)3 divide a 3((pq)r+(qr)p+(rp)q−1)
Circunferencia por ortocentro y dos vértices de un acutángulo (P5)
Cuadrícula n por 4 (P4)
Sea n un entero positivo. En una cuadrícula n×4, cada renglón es igual a
| 2 | 0 | 1 | 0 |
Un cambio es tomar tres casillas
- consecutivas en el mismo renglón y
- con dígitos distintos escritos en ellas
y cambiar los tres dígitos de estas casillas de la siguiente manera
0 → 1, 1 → 2, 2→0
Dos circunferencias tangentes exteriormente (P3)
Sean C1 y C2 dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto A. Se traza una recta tangente a C1 en B y secante a C2 en C y D; luego se prolonga el segmento AB hasta intersecar a C2 en un punto E. Sea F el punto medio del arco CD sobre C2 que no contiene a E y sea H la intersección de BF con C2. Muestra que CD,AF y EH son concurrentes.
Lectura de una tabla
La tabla de la figura muestra las frecuencias del número de puntos que los concursantes de la 24 Olimpiada Mexicana de Matemáticas obtuvieron en cada uno de los 6 problemas del examen nacional.
El fácil de la 24 Olimpíada Mexicana de Matemáticas (un problema de inocencia envenenada)
El problema 1 de la 24 OMM resultó ser un hueso duro de roer --para los concursantes que no conocían algunos trucos de acotación. Su enunciado parece tan inocente... "Encuentra todas las ternas de números naturales (a,b,c) que cumplan la ecuación abc=a+b+c+1." Pero su inocencia aparente es una inocencia envenenada.
Cambios de estado de focos en un tablero (P2)
En cada casilla de un tablero n×nhay un foco. Inicialmente todos los focos están apagados. En un paso, se permite cambiar el estado de todos los focos en una fila o de todos los focos en una columna (los focos prendidos se apagan y los focos apagados se prenden). Muestra que si después de cierta cantidad de pasos hay uno o más focos prendidos entonces en ese momento hay al menos n focos prendidos.
Ternas que cumplen una ecuación (P1)
Encuentra todas las ternas de números naturales (a,b,c) que cumplan la ecuación abc=a+b+c+1.
