Publicaciones Recientes
P3. OMM 1987. Lugar geométrico de la proyección de un punto
Considere dos rectas $\ell$ y $\ell'$ y un punto fijo P que diste lo mismo de $\ell$, que de $\ell'$. ¿Qué lugar geométrico describen los puntos M que son proyección de P sobre AB, donde A está en $\ell$, B está en $\ell'$, y el ángulo APB es recto.
P2. OMM 1987. Divisores de 20 factorial
¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! ? (20! = 1×2×3×· · ·×19×20).
Sentido de la estructura algebraica
En el paper Developing Katy's Algebraic Structure Sense, Hoch y Dreyfus, los autores de este reporte de investigación, someten a prueba empírica un método de enseñanza individualizada de las matemáticas que podríamos llamar "entrevistas didácticas" (teaching interviews).
Los autores usan las entrevistas didácticas para mejorar el desempeño en matemáticas de adolescentes que, si bien son buenos en la manipulación algebraica, no han adquirido el "sentido de la estructura". Eligieron para ilustrar los resultados a Katy, una adolescente de 16 años.
Circunferencias inscritas en ángulo e isósceles
Dos circunferencias están inscritas entre los lados de un triángulo isósceles $ABC$ (con $AB=AC$) y los de un ángulo, uno de los cuales pasa por A y el otro incluye la base $BC$ del isósceles. Encontrar la relación entre la altura de $A$ respecto a la base $BC$ y los radios de las circunferencias.
Círculos internamente tangentes
Sean $\Gamma$ y $\Gamma_1$ dos círculos tangentes internamente en $A$ y con centros $O$ y $O_1$, respectivamente. Sea $B$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto al punto $A$, y $C$ un punto en $\Gamma$ tal que $BC$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$. Sea $A'$ el punto medio de $BC$. Suponiendo que $O_1A'$ es paralela a $AP$, calcular la razón $r/r_1$.
Raíces cúbicas de números racionales
Sean $p,q,r$ números racionales no nulos tales que
$$\sqrt[3]{pq^2}+\sqrt[3]{qr^2}+\sqrt[3]{rp^2}$$
es un número racional no nulo. Demostrar que
$$\frac{1}{\sqrt[3]{pq^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{qr^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{rp^2}}$$ es también un número racional.
Embaldosado de un patio
Se desea embaldosar un patio cuadrado de lado $N$ entero positivo. Se dispone de dos tipos de baldosas: cuadradas de $5\times5$, y rectangulares de $1\times3$. Determine los valores de $N$ para los cuales es posible hacerlo. Nota: el patio debe quedar completamente cubierto sin que las baldosas se sobrepongan.
Mover una ficha en un tablero
Un jugador coloca una ficha en una casilla de un tablero $m\timesn$ dividido en cuadrados de tamaño $1\times1$. El jugador mueve la ficha de acuerdo a las siguientes reglas:
- En cada movida, el jugador mueve la ficha a un cuadrado que comparte un lado con el cuadrado en que se encuentra.
- El jugador no puede mover la ficha a un cuadrado que ha ocupado previamente.
- Dos movimientos consecutivos no pueden tener la misma dirección.
El juego termina cuando el jugador no puede mover la ficha. Determine todos los valores de $m$ y $ n $ tales que, al colocar la ficha en algún cuadrado, todos los cuadrados pueden ser ocupados durante el juego.
Tangente al circuncírculo
En el triángulo $ABC$, $L,M,N$ son los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. La tangente por $A$ al circuncírculo de $ABC$, corta en $P$ y $Q$ a las rectas $LM$ y $LN$, respectivamente. Demostrar que $CP$ es paralela a $BQ$.
Suma de dígitos
Si $S(n)$ denota la suma de los dígitos de un número natural n, encontrar todas las soluciones de $n(S(n)-1)=2010$ y demostrar que son las únicas.
