Publicaciones Recientes
EGMO Problema 2 - Máxima cantidad de renglones en una tabla
Sea $n$ un entero positivo, encuentra el entero más grande $m$, en términos de $n$ con la siguiente propiedad:
Una tabla con m renglones y n columnas puede ser llenada con números reales de tal manera que dos diferentes renglones, $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ and $[b_1, b_2, \ldots, b_n]$ satisfacen que $$\max(|a_1 − b_1|, |a_2 − b_2|,\dots , |a_n − b_n|) = 1.$$
©Traducido de la versión en ingles por Matetam.com
EGMO Problema 1 - Sobre dos circuncentros y demostrar que una línea es perpendicular
Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Los puntos D, E y F se encuntran en el interio de los lados BC, CA y AB respectivamente, de tal manera que DE es perpendicular a CO y DF such that DE is perpendicular to CO and DF is perpendicular to BO. (Por punto interior nos referimos, por ejemplo, a que el punto D se encuentra sobre la línea BC y D está entre B y C en esa línea)
Consideremos K el circuncentro del triángulo AFE. Desmuestra que las líneas DK y BC son perpendiculares.
©Traducido de la versión en ingles para Matetam.com
Kevin: talento matemático infantil --en la periferia
Hablando de la educación matemática en USA, un matemático americano desencantado decía: lo verdaderamente extraordinario es encontrar un niño que resuelva problemas de rutina con métodos de rutina. (Ver la segunda postdata de mi post sobre la división larga.)
Hay pocas cosas que le alegran el día a un profesor de matemáticas desencantado de la educación. Una de ellas es encontrar o descubrir un niño con aquellas habilidades matemáticas que solían ser las obligatorias.
¿Dónde y cómo aprender ecuaciones funcionales?
Bueno como dice el título, necesito aprender ecuaciones funcionales para la olimpíada. Busqué en internet apuntes pero todos son complejos y yo necesito algo gradual que empiece desde lo básico, ya que no dispongo de nadie que me explique. Principalmente necesitaría que me digan los conocimientos previos que necesito para aprender el tema, ya que no sé absolutamente nada de funciones, sólo lo básico. Cualquier recomendación de libros o apuntes me vendría de maravillas.
Dede ya muchas gracias y espero con ansias sus respuestas.
Ranas, hormigas, camaleones...
Después de escribir el post sobre paridad estuve navegando la Web con el tema invariantes, otro tipo de razonamiento en el problem solving de olimpiada que generalmente acompaña al de paridad.
Argumento de paridad: tres instancias de uso
Voy a discutir en este post un razonamiento elemental en el campo de las matemáticas de concurso denominado argumento de paridad. Es recurrente en el problem solving de olimpiada. Se presentan las propiedades básicas de la paridad y algunas instancias de uso.
Discusión previa
Así como las personas pueden ser clasificados por su sexo (femenino/masculino), los números enteros se pueden clasificar por su paridad (par, impar).
La paridad de un entero es así una variable dicotómica: el número es par o bien no lo es (en cuyo caso se le llama impar o non). Una clasificación elemental... pero tiene sus detalles finos (esa verdad no está en los libros, sino en sus instancias de uso).
Una propiedad elemental de la divisibilidad
Voy a discutir en este post una propiedad de la divisibilidad que surge cuando la suma de dos números es múltiplo de un primo. Se le podría llamar propiedad de transferencia de la divisibilidad. Incluyo dos instancias de uso en el problem solving de olimpiada.
Una propiedad de transferencia
Considere la suma $a+b$ de dos números enteros y supongamos que es múltiplo de un primo $p$. Puede suceder que ninguno de los sumandos sea múltiplo de $p$. Pero si alguno lo es, entonces también lo es el otro. Formalmente, la propiedad se puede establecer así:
$a,b\in\mathbb{Z},p$ primo, $p|a+b\Rightarrow (p|a\Leftrightarrow p|b)$
Numeros aluxes
Un entero positivo $n$ es aluxe si el producto de los digitos de $n$ es igual al producto de los digitos de $n+1$. ¿Cuántos enteros aluxes hay menores o iguales a 2011 y mayores o iguales a 1?
Principio de sustitución
Si dos cantidades son iguales entonces son intercambiables --en el cálculo o demostración.
Parece trivial. Y lo es. Pero hay que aprender a usarlo. Antiguamente se solía decir:
Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
Pero no se trata de aprender a recitarlo, se trata de aprender a usarlo.
Ejemplos:
1. Considere el sistema $x+y=z$, $z=5$
Aquí tenemos que (dos cosas) $x+y$ y 5 son iguales a $z$ (una tercera). Por tanto, $x+y=5$ (son iguales entre sí).
Discusión sobre las coordenadas de un punto
