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Sobre la utilidad de saber trigonometría
Caracterización del ortocentro
Demostrar que un punto P en el interior de un triángulo acutángulo XYZ es el ortocentro de éste si y sólo si
- XP es perpendicular a YZ, y
- el reflejo de P en el lado YZ pertenece al circuncírculo de XYZ.
Método de áreas (2a parte)
En este post voy a discutir el método de áreas en el problem solving de matemáticas de concurso. El tema ya lo había discutido (un poco de manera reticente) en el post Método de áreas. En esta ocasión voy a profundizar un poco más en ese método, presentando y demostrando un teorema --y algunas de sus instancias de uso.
Suma de razones de segmentos
Sea P un punto interior del triángulo ABC. Los rayos AP,BP,CP cortan los lados BC,CA,AB en los puntos D,E,F, respectivamente. Demostrar que
Método de áreas (revisitado)
Sean dados dos segmentos AB y PQ, y suponga que los segmentos o sus prolongaciones se cortan en el punto M. Demostrar que la razón de las áreas de los triángulos ABP y ABQ es igual a la razón de las distancias de P a M y de Q a M.
Ejercicio clásico (con descubrimiento semiguiado)
Sea D un punto en la base BC de un triángulo, y consideremos los triángulos ABD y ACD.
- Demostrar que la razón de sus áreas es igual a la razón de sus bases BD y CD.
- Demostrar que si D es el punto medio de BC entonces sus áreas son iguales.
- Demostrar que si D es el punto en que la bisectriz del ángulo A corta a la base BC, entonces AB/AC=BD/CD (teorema de la bisectriz).
Reflexión de pies de alturas (P6)
Sea ABC un triángulo acutángulo y sean D, E y F los pies de las alturas desde A, B y C, respectivamente. Sean Y y Z los pies de las perpendiculares desde B y C sobre FD y DE, respectivamente. Sea F1 la reflexión de F con respecto a E y E1 reflexión de E respecto a F. Si 3EF=FD+DE demuestra que ∠BZF1=∠CYE1.
Nota. La reflexión de un punto P respecto a un punto Q es el punto P1 ubicado sobre la recta PQ tal que Q queda entre P y P1, y PQ=QP1
Sistema de ecuaciones en tres variable (P5)
Los números reales positivos x, y, z son tales que:
x+yz=y+zx=z+xy=2
Determina todos los valores posibles de x+y+z.
Diofantina con tres primos (P4)
Encuentra todos los enteros positivos p, q y r, con p y q números primos, que satisfacen la igualdad:
1p+1+1q+1−1(p+1)(q+1)=1r
Desliz tras desliz te lleva a 5 (P3)
Aplicar un desliz a un entero n≥2 significa tomar cualquier primo p que divida a n y remplazar n por n+p2p.
Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que 5 y se le aplica un desliz. Al número así obtenido se le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número 5.
