GBC-Teorema (Ángulos opuestos de un cíclico)

¿No será conveniente agregar a este teorema el regreso?. De ésta manera, más que una propiedad de los cuadriláteros, el teorema se convertirá en un criterio para determinar si un cuadrilátero es cíclico o no.

Hola Jesús: si se agregara la conversa el teorema dejaría de ser GBC. Me explico: como seguramente el lector sabe (por haber consultado el glosario de MaTeTaM) GBC-teorema es una definición local de MaTeTaM que significa Geometría Básica del Círculo.

Mi idea es incluir en el glosario estos teoremitas que, en cierto sentido, no llegan a ser teoremas, sino que serían lo que los americanos llaman facts.

Los GBC-teoremas, sin embargo, me parecen importantes porque se encuentran interrelacionados (unos dependen de otros para su demostración) y pueden ser utilizados para que el aprendiz vaya formando su red conceptual sobre las propiedades de las configuraciones geométricas que dependen de una circunferencia.

Pero quizá lo más importante es que son un buen inicio para aprender las demostraciones lógicas y la  utilidad de éstas en el aprendizaje de los conceptos geométricos --dado que, además de ser elementales y breves, apelan a hechos geométricos también elementales.

Por esas y otras razones no sería conveniente incluir la conversa --dado que su demostración es por contradicción (una técnica que todavía no estaría al alcance del aprendiz) y no cabe en cinco renglones. (Si tuvieses una prueba elemental de la conversa --de cuatro o cinco renglones-- y al alcance del novicio, por favor inclúyela.)

La conversa se añadirá como teorema sobre las propiedades de los cuadriláteros cíclicos.

No sé si te convenza este argumento de por qué no conviene incluir la conversa de este GBC-teorema, pero te agradezco el comentario pues me sirvió para aclarar la idea didáctica de los GBC-teoremas.

Te saluda

jmd

PD: por favor, evalúa esta prueba de 5 renglones que evita la contradicción:

Sea ABCD un cuadrilátero con sus ángulos A y C suplementarios. Tracemos el circuncírculo de ABD y prolonguemos DC (si es necesario) hasta cortar en C' al circuncírculo. Los ángulos BC'D y BCD son iguales (pues ambos son suplementarios del mismo ángulo en A, uno por construcción y el otro por dato). Pero también son correspondientes en las rectas BC y BC' cortadas por la transversal DC. De aquí que BC y BC' son paralelas. Pero comparten B, luego son coincidentes. De aquí que C=C' y C está sobre el mismo círculo que A,B,D.