GBC-Teorema (de la altura)

Enviado por jmd el 5 de Junio de 2009 - 05:07.
Versión para impresión

Toda semicuerda perpendicular a un diámetro es media proporcional entre los segmentos en que aquélla divide a éste. (La altura del vértice opuesto a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos determinados en la hipotenusa por el pie de la altura.) Con referencia a la figura, el resultado es: BC′/C′C=CC′/C′A

Demostración(es)
Demostración: 

Sea AB el diámetro y C un punto sobre la circunferencia. Entonces el ángulo BCA es recto (por ser inscrito en una semicircunferencia). Si C′ es la proyección de C sobre el diámetro AB, entonces CC′ es la semicuerda perpendicular al diámetro (pues el diámetro perpendicular a la cuerda es su mediatriz).

Entonces, por potencia de un punto, (CC′)2=(AC′)(C′B).  Es decir, AC′/C′C=CC′/C′B.

(El aprendiz haría bien en demostrarlo utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos de la configuración, y también en recordar que la potencia de un punto es semejanza de triángulos "enlatada". )

Ver también: 
Potencia de un punto (respecto a una circunferencia)
Ver también: 
Semejanza (en geometría)
Ver también: 
Media proporcional
Ver también: 
GBC-Teorema
»