Problemas - Álgebra
Estadísticas trucadas
Una oficina de Turismo va a realizar una encuesta sobre el número de días soleados y el número de días lluviosos que se dan en el año. Para ello recurre a seis regiones que le transmiten los datos de la siguiente tabla:
Cuadrados perfectos en una progresión aritmética
Demostrar que si entre los infinitos términos de una progresión aritmética de números enteros positivos hay un cuadrado perfecto, entonces infinitos términos de la progresión son cuadrados perfectos.
Triángulo aritmético
Sea dado el triángulo aritmético
0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993
1 3 5 7...................... 3983 3985
4 8 12............................. 7968
...
(donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Demostrar que el último número es múltiplo de 1993.
Grado de repulsión de una función circular
Una función $f: N \mapsto N$ es circular si para cada $p$ en $N$ existe $n$ en $N$ con $n\leq p$ tal que:
$$\underbrace{f^n(p) = f(f(\ldots f(p) \ldots )))}_{n veces}=p$$
La función $f$ tiene grado de repulsión $k$, $0 < k < 1$, si para cada $p$ en $N$, $f^i(p) \neq p$ para $i\leq [k\cdot p]$. Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular. Nota: $[x]$ indica el mayor entero menor o igual que $x$.
Condiciones extravagantes para n+1 números
Sea $n$ un número entero mayor que 1. Determine los números reales $x_1, x_2,\ldots, x_n\leq 1$ y $x_{n+1}>0$, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
$$\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n-1]{x_n}=n\sqrt[2]{x_{n+1}}$$
$$\frac{x_1+x_2+ \ldots +x_n}{n}=x_{n+1}$$
Para entender la pregunta primero tienes que responderla
Determine los posibles valores de la suma de los digitos de todos los cuadrados perfectos.
Si le entiendes al enunciado obtienes un punto
Demostrar que todo número natural $n\leq 2^{1000000}$ puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1100000 sumas; más precisamente: que hay una sucesión finita de números naturales $x_0, x_1,\ldots,x_k$, con $k < 1100000$, $x_0 = 1, x_k = n$ tal que para cada $i = 1, 2,\ldots, k$, existen $r, s$ con $0\leq r < i, 0 \leq s < i$, y $x_i = x_r + x_s$.
Eliges, sumas, y te vas...
Sean $n, r$ dos enteros positivos. Se desea construir $r$ subconjuntos $A_1, A_2,\ldots, A_r$ de $\{0, 1,\ldots, n-1\}$ cada uno de ellos con exactamente $k$ elementos y tales que, para cada entero $x$, $0\leq x \leq n-1$, existen $x_1$ en $A_1$, $x_2$ en $A_2$ ,... , $x_r$ en $A_r$ (un elemento en cada conjunto) con $x = x_1 + x_2\dots+ x_r$. Hallar el menor valor posible de $k$ en función de $n$ y $r$.
Una forma complicada de definir una función elemental
Sea $N^* = \{1, 2, 3, \ldots \}$. Halle todas las funciones $f: N^* \mapsto N^*$ tales que:
- i) si $x < y$, entonces $f(x) < f(y)$
- ii) $f(y f(x)) = x^2f(xy)$, para todos los $x, y\in N^*$.
Dos sucesiones recursivas
Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones de números enteros que verifican las siguientes condiciones:
- i) $a_0 = 0, b_0 = 8$
- ii) $a_{n+2} = 2a_{n+1}-a_n+2, b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n$
- iii) $a_n^2+b_n^2$ es un cuadrado perfecto para todo $n$.
Determinar al menos dos valores del par $(a_{1992}, b_{1992})$.