Problemas - Combinatoria
Cobertura imposible
Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado 1 con cinco cuadrados iguales de lado menor o igual que 1/2.
Naves marcianas en una cuadrícula
En un tablero de $2000 \times 2001$ cuadros de coordenadas enteras $(x,y)$, $0\leq x \leq 1999$ y $0 \leq y\leq 2000$, una nave se mueve de la siguiente manera:
Juego con un montón de piedras
Hay un montón de 2000 piedras. Dos jugadores juegan alternadamente, de acuerdo a las siguientes reglas:
- (a) En cada jugada se pueden retirar 1, 2, 3, 4 ó 5 piedras del montón.
- (b) En cada jugada esá prohíbido que el jugador retire la misma cantidad de piedras que retiró su oponente en la jugada previa.
- (c) Pierde el jugador que en su turno no pueda realizar una jugada válida.
Determinar cuál jugador tiene estrategia ganadora y encontrarla.
Polígono regular de n lados
Se construye un polígono regular de $n$ lados ($n\geq 3$) y se enumeran sus vértices del 1 al $n$. Se trazan todas las diagonales del polígono. Demostrar que si $n$ es impar, se puede asignar a cada lado y a cada diagonal un número entero del 1 al $n$, tal que se cumplan simultáneamente las siguientes dos condiciones:
- (a) El número asignado a cada lado o diagonal es distinto a los asignados a los vértices que une.
- (b) Para cada vértice, todos los lados y diagonales que compartan dicho vértice
tienen números diferentes.
Nubes de circunferencias coloreadas
Sean $n$ puntos distintos, $P_1, P_2,\ldots, P_n$, sobre una recta del plano ($n \geq 2$). Considere todas las circunferencias de diámetro $P_iP_j$ ($1\leq i \leq j\leq n$) y coloreadas cada una con uno de $k$ colores dados. Llamamos $(n-k)$-nube a esta configuración.
Para cada entero positivo $k$, determine todos los $n$ para los cuales se verifica que toda $(n-k)$-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.
Nota: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.
Distancias entre pares de puntos en el plano
Hallar el máximo valor posible de $n$ para que existan puntos distintos $P_1, P_2, P_3,\ldots,P_n$ en el plano y números reales $r_1, r_2,\ldots, r_n$ de modo que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes $P_i$ y $P_j$ sea $r_i + r_j$.
Paisanos en una mesa redonda
Alrededor de una mesa redonda están sentados representantes de $n$ países ($n\geq 2$), de tal manera que si dos representantes son del mismo país, entonces sus vecinos de la derecha no son del mismo país. Determinar, para cada $n$, el número máximo de personas que pueden sentarse alrededor de la mesa.
98 puntos en una circunferencia
En una circunferencia hay dados 98 puntos. María y José juegan alternadamente de la siguiente manera: cada uno traza un segmento que une dos puntos que no han sido unidos antes. El juego finaliza cuando los 98 puntos han sido usados como extremos de al menos un segmento. El ganador es quien traza el último segmento. Si José inicia el juego ¿quién puede asegurarse la victoria?
Triangulación de un polígono
Un polígono convexo de $n$ lados se descompone en $m$ triángulos, con sus interiores disjuntos, de modo que cada lado de esos $m$ triángulos lo es también de otro triángulo contiguo o del polígono dado. Probar que $m + n$ es par. Conocidos $n$ y $m$ hallar el número de lados distintos que quedan en el interior del polígono y el número de vértices distintos que quedan en ese interior.
Combinatoria en un tablero $3\times7$
Con 21 fichas de damas, unas blancas y otras negras, se forma un rectángulo de $3\times7$. Demostrar que siempre hay cuatro fichas del mismo color situadas en los vértices de un rectángulo.