Publicaciones Recientes
Encontrar un residuo
Encontrar el residuo que deja $2009^{2008}$ al dividirlo entre $9$
El polo de la recta que pasa por el vértice y el punto de tangencia.
Sea $ ABC$ un triángulo y sean $ D$, $ E$ y $ F$ los puntos donde la circunferencia circunscrita es tangente al lado $ BC$, $CA$ y $ AB$. Llamemos $D'$ el punto donde la recta $EF$ corta a la recta $AB$. Demuestra que:
a) $D'$ es el conjugado armónico de $D$ con respecto al segmento $ AB$.
b) Que la recta $AD$ es la polar de $D'$ respecto al incírculo.
Demostrar cuadrado
Sea ABCD un cuadrilatero tal que los angulos internos en los vertices A, B, y C son de cuarenta y cinco grados. Demostrar que los puntos medios de los lados del cuadrilatero determinan un cuadrado.
Propuesto por: Fernando
Clasificación de primos que dividen a un cuadrado más uno
Demuestra que si $ p$ es un primo impar que divide a $n^2 +1$ para algún $ n$, entonces $ p$ debe ser de la forma $4k+1$, es decir, $p \equiv 1$ (mód 4).
Media armónica de las bases de un trapecio.
Considere $\mu$ un segmento paralelo a las bases $a$ y $b$ de un trapecio, de tal manera que $\mu$ pasa por el punto de intersección de las diagonales y sus extremos están sobre los lados del trapecio. Demostrar que $\mu$ es la media armónica de $a$ y $b$, es decir:
No es un cuadrado perfecto
Demostrar que si $y$ es un entero, $187y-1$ no es un cuadrado perfecto.
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División anular
Sean $a, b, c$ tres números enteros positivos tales que $a$ divide a $b^2$, $b$ divide a $c^2$ y $c$ divide a $a^2$. Demostrar que $abc$ divide a $a^7+b^7+c^7$.
Tres círculos congruentes
Tres círculos $C_1, C_2, C_3$ del mismo radio se intersectan no tangencialmente en un punto $P$. Sean $A, B$ los centros de $C_1, C_2$, respectivamente; y $C, D$ los puntos de intersección de $C_1, C_2$, respectivamente, con $C_3$. ($C, D$ son ambos diferentes de $P$.) Demostrar que $ABCD$ es un paralelogramo.
Desigualdad de las medias --con un max-min-razonamiento
