Problemas - Álgebra
El fácil de la IMO 1961
Resolver el sistema de ecuaciones (donde a,b son constantes):
Dar, además, las condiciones que deben satisfacer a,b para que las soluciones del sistema x,y,z sean números positivos distintos.
Polinomios simétricos: instancia de uso
Sean a,b,c números reales distintos de cero y tales que a+b+c=0 y a3+b3+c3=a5+b5+c5. Demostrar que a2+b2+c2=65
Identidad de Gauss
a) Demostrar la identidad algebraica a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
b) Demostrar la identidad a2+b2+c2−ab−bc−ca=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]
c) Usar el resultados del inciso anterior para demostrar que si a,b,c son reales positivos entonces se cumple la desigualdad a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0
Polinomios simétricos en tres variables: resultado fundamental
Sea n un entero no negativo y x,y,z números reales. Con la notación usual, defínanse los polinomios simétricos elementales en tres variables como σ1=x+y+z, σ2=xy+yz+zx, σ3=xyz y Sn=xn+yn+zn.
Demostrar:
a) Sn=σ1⋅Sn−1−σ2⋅Sn−2+σ3⋅Sn−3, para n≥3
Polinomios simétricos en dos variables: resultado fundamental
Sea n un entero no negativo y a,b números reales.
a)Demostrar la identidad an+bn=(a+b)(an−1+bn−1)−ab(an−2+bn−2)
Ejercicios sobre inducción matemática
El n-ésimo número triangular Tn se define como la suma de los primeros n enteros.
¿Quién tiene más?
Dos vecinos juegan al "quién tiene más" (en varilla para la construcción):
A: Yo tengo 40 y tú 30.
B: Sí, pero las mías miden 4 metros más que las tuyas.
Dos números
Encontrar dos números tales que su suma, su producto y la diferencia de sus cuadrados son iguales entre sí.
Impares consecutivos
Dos impares consecutivos son tales que el doble del menor más el recíproco del mayor es 71/7. Encontrar esos números.