Problemas - Álgebra

Problema

El fácil de la IMO 1961

Enviado por jmd el 2 de Enero de 2010 - 08:05.

Resolver el sistema de ecuaciones (donde a,b son constantes):

x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2

Dar, además, las condiciones que deben satisfacer a,b para que las soluciones del sistema x,y,z sean números positivos distintos.

Problema

Polinomios simétricos: instancia de uso

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 13:43.

Sean a,b,c números reales distintos de cero y tales que a+b+c=0 y a3+b3+c3=a5+b5+c5. Demostrar que a2+b2+c2=65

Problema

Identidad de Gauss

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 12:44.

a) Demostrar la identidad algebraica a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)

b) Demostrar la identidad a2+b2+c2abbcca=12[(ab)2+(bc)2+(ca)2]

c) Usar el resultados del inciso anterior para demostrar que si a,b,c son reales positivos entonces se cumple la desigualdad  a2+b2+c2abbcca0

Problema

Polinomios simétricos en tres variables: resultado fundamental

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 10:47.

Sea n un entero no negativo y x,y,z números reales.  Con la notación usual, defínanse los polinomios simétricos elementales en tres variables como σ1=x+y+z, σ2=xy+yz+zx, σ3=xyz  y Sn=xn+yn+zn.

Demostrar:

a) Sn=σ1Sn1σ2Sn2+σ3Sn3, para n3

Problema

Polinomios simétricos en dos variables: resultado fundamental

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 10:26.

Sea n un entero no negativo y a,b números reales.

a)Demostrar la identidad an+bn=(a+b)(an1+bn1)ab(an2+bn2)

Problema

Ejercicios sobre inducción matemática

Enviado por jmd el 28 de Diciembre de 2009 - 21:37.

El n-ésimo número triangular Tn se define como la suma de los primeros n enteros.

Problema

¿Tantos? ¡Qué desorden!

Enviado por jmd el 28 de Diciembre de 2009 - 09:39.

 

Problema

¿Quién tiene más?

Enviado por jmd el 28 de Diciembre de 2009 - 09:20.

Dos vecinos juegan al "quién tiene más" (en varilla para la construcción):

A: Yo tengo 40 y tú 30.

B: Sí, pero las mías miden 4 metros más que las tuyas.

Problema

Dos números

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2009 - 12:56.

Encontrar dos números tales que su suma, su producto y la diferencia de sus cuadrados son iguales entre sí.

Problema

Impares consecutivos

Enviado por jmd el 4 de Diciembre de 2009 - 11:31.

Dos impares consecutivos son tales que el doble del menor más el recíproco del mayor es 71/7. Encontrar esos números.