Problemas - Teoría de números
¿Cuadrado perfecto? ¡Manipulación algebraica!
Sean x,y enteros positivos tales que 3x2+x=4y2+y. Demostrar que x−y es cuadrado perfecto.
Divisores de 6n
Sea n un entero positivo. Si 2n tiene 30 divisores positivos y 3n tiene 32 ¿Cuántos divisores tiene 6n?
¿Qué es lo que no se puede hacer con los primos?
Encontrar todos los valores enteros positivos n para los cuales f(n)=n2−3n+2 es un número primo. Justifica tu respuesta.
Problema 5 (Ciudades, OMM_Tam_2010)
Con los dígitos 1,2,…,9 ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar, con la condición de que la suma de sus cifras sea par?
Problema 5
Cuantos números de 3 cifras, que la suma de sus cifras sea par se pueden formar con los digitos 1,2,3...9
Problema 8 (Ciudades, OMM_Tam_2010)
Hallar un número de tres cifras ab6 sabiendo que las tres últimas cifras de (ab6)2 son ab6.
Problema 2 (Ciudades, OMM_Tam_2010)
Probar que el número abcabc es múltiplo de 7, de 11 y de 13.
Longitud del ciclo --de residuos potenciales
Sean a,m enteros positivos y primos entre sí, y o el exponente entero positivo más pequeño que cumple ao≡1(modm). Demostrar que si au es equiresidual con el 1 (mod m) entonces u es múltiplo de o.
La respuesta está en el ciclo
Calcular los residuos que dejan las potencias de 2 en la sucesión geométrica 2,22,23… al dividir entre 17 y, sin hacer el cálculo directo, diga cuál es el residuo que deja 221 en la división entre 17 analizando el patrón de los primeros 10 residuos.
Ciclos de residuos en una progresión geométrica
Sean a y g enteros positivos coprimos con un módulo m (otro entero positivo), y consideremos los residuos que dejan (en la división entre m) los términos de la progresión aritmética a,ag,ag2,…. Demostrar que en esa sucesión de residuos éstos recurren (se repiten por bloques o ciclos), y que si t es el número de términos del período o bloque recurrente, entonces t≤ϕ(m)