Problemas - Teoría de números
Mayor divisor, 7 veces el menor
Encontrar todos los números naturales $n$ tales que sus divisores, distintos de $1$ y $n$, cumplen que el más grande es 7 veces el más pequeño.
Cuadrados perfectos de tres dígitos consecutivos
Encuentra todos los números de tres cifras que sean cuadrados perfectos y que use cifras consecutivas. Por ejemplo 123, 132, 213, 231,312, 321 son números que usan las cifras consecutivas y 4 es un ejemplo de cuadrado perfecto.
El odómetro chafa
El odómetro (medidor de distancias recorridas) de un carro chafa siempre brinca de 3 a 5, saltándose el 4, sin importar la posición. Por ejemplo, después de viajar un kilómetro cambió de 000039 a 000050. Si el odómetro marca 002005, ¿cuántos kilómetros ha viajado en realidad el carro chafa?
Años superolímpicos
Cuando la edición $N$ de la ONMAS se realiza en un año divisible entre $N$, diremos que es un año superolímpico. Por ejemplo el año 2005 es superolímpico porque se realiza la edición 5 de la ONMAS y 2005 es divisible entre 5. Determina todos los años superolímpicos, sabiendo que la ONMAS se realiza anualmente a partir de 2001 y suponiendo que se seguirá realizando cada año.
Numeros aluxes
Un entero positivo $n$ es aluxe si el producto de los digitos de $n$ es igual al producto de los digitos de $n+1$. ¿Cuántos enteros aluxes hay menores o iguales a 2011 y mayores o iguales a 1?
Números racionales!!!
Demuestra que la suma de las raíces cuadradas de 2 y 3 suman un número irracional. Esto es, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es irracional.
Divisibilidad en un polinomio cúbico
Sean $m$ y $n$ números enteros tales que el polinomio $P(x)=x^3+mx+n$ tiene la siguiente propiedad: si $x$ y $y$ son enteros y 107 divide a $P(x)-P(y)$, entonces 107 divide a $x-y$. Demuestre que divide a 107 divide a $m$.
Números a-tres-vidos
Un número natural $n$ es atresvido si el conjunto de sus divisores, incluyendo al 1 y al n, se puede dividir en tres subconjuntos tales que la suma de los elementos de cada subconjunto es la misma en los tres. ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número atresvido?
Encontrar parejas --con dos restricciones
Determine todas las parejas $(a, b)$ de enteros positivos tales que $2a + 1$ y $2b - 1$ sean primos relativos y $a + b$ divida a $4ab + 1$.
Operación residual sobre dos enteros positivos
Dados dos enteros positivos $a$ y $b$, se denota por $(a\nabla b)$ al residuo que se obtiene al dividir $a$ entre $b$. Este residuo es uno de los números $0, 1,\ldots, b - 1$. Encuentre todas las parejas de números $(a, p)$ tales que $p$ es primo y se cumple que $$(a\nabla p) + (a\nabla 2p) + (a\nabla 3p) + (a\nabla 4p) = a + p.$$