Números

Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos $n$ tales que la suma de los divisores positivos del número $2008^n-1$ es divisible entre $n$.


 

 Determine todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos, tales que $x+y=a^n$ y $x^2+y^2=a^m$ para algunos enteros positivos $a, m, n.$


 

Sea $f(n)=5n^{13}+13n^5+9an$. Encontrar el mínimo entero positivo$a$ para el cual $f(n)$ es divisible entre $65$ para cada entero $n$.

Demostrar que tres cuadrados perfectos en progresión aritmética tienen una diferencia constante que es múltiplo de 24.(En otras palabras, si $c^2 - b^2 = b^2 - a^2 = d$, entonces $d$ es múltiplo de 24.)

Demostrar que $n! + 2004$ no es cuadrado perfecto para ningún entero positivo $n$.

Demuestra que existen infinitos enteros n tales que n² + 1 tiene un divisor primo mayor que $2n+\sqrt{2n}$.