Números

Decidir (con justificación) cuál de los tres números $2007, 2008, 2009$ podría ser expresado como una combinación lineal entera de 453 y 408, es decir, en la forma $453x+408y$, con $x, y$ enteros.
 

Encontrar el residuo que deja $2009^{2008}$ al dividirlo entre $9$

Demuestra que si $ p$ es un primo impar que divide a $n^2 +1$ para algún $ n$, entonces $ p$ debe ser de la forma $4k+1$, es decir, $p \equiv 1$ (mód  4).

Demostrar que si $y$ es un entero, $187y-1$ no es un cuadrado perfecto.

Sean $a, b, c$ tres números enteros positivos tales que $a$ divide a $b^2$, $b$ divide a $c^2$ y $c$ divide a $a^2$. Demostrar que $abc$ divide a $a^7+b^7+c^7$.
 

Demuestre que existen infinitos $ m $ enteros positivos tales que $n^4 + m$ es un número compuesto para cualquier $ n $ entero positivo.

Encontrar todos los enteros $ n $ tales que $n^4+4$ es primo.

Encuentre todos los números primos $ p, q $ tales que $ p + q $ = $(p-q)^3$^.

Considera un entero $n > 1$. Demuestra que existen enteros $a,b \geq 1$ tales que $a+b=n$ y $n | ab$ si y sólo si $ n $ no es libre de cuadrados.

En el pizarrón está la lista de los números enteros positivos divisores de 3019. Si borramos los divisores de 2011 ¿cuántos números quedan?