Números

Demostrar que si $p, q$ son dos primos distintos para los cuales $a^p\equiv a \pmod{q}$ y $a^q\equiv{a} \pmod{p}$, entonces $a^{pq} \equiv a \pmod{pq}$. }

Demostrar, con este resultado, el siguiente contraejemplo para la conversa del pequeño teorema de Fermat: $2^{340} \equiv 1 \pmod{341}$ --¡pero 341 es compuesto!

Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los cuales el conjunto $A= \{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}$ puede particionarse en dos subconjuntos con el mismo producto de sus miembros (el producto de los números en uno de los subconjuntos es igual al producto de los números en el otro).
 

Encontrar el residuo que deja 50(50!) al dividirlo entre 53.

Encontrar un número entero positivo que al multiplicarlo por $2^{145}$ y al resultado restarle 1, se obtenga un múltiplo de 151.

Decidir (con justificación) cuál de los tres números $2007, 2008, 2009$ podría ser expresado como una combinación lineal entera de 453 y 408, es decir, en la forma $453x+408y$, con $x, y$ enteros.
 

Encontrar el residuo que deja $2009^{2008}$ al dividirlo entre $9$

Demuestra que si $p$ es un primo impar que divide a $n^2 +1$ para algún $n$, entonces $p$ debe ser de la forma $4k+1$, es decir, $p \equiv 1$ (mód  4).

Demostrar que si $y$ es un entero, $187y-1$ no es un cuadrado perfecto.

Sean $a, b, c$ tres números enteros positivos tales que $a$ divide a $b^2$, $b$ divide a $c^2$ y $c$ divide a $a^2$. Demostrar que $abc$ divide a $a^7+b^7+c^7$.
 

Demuestre que existen infinitos $m$ enteros positivos tales que $n^4 + m$ es un número compuesto para cualquier $n$ entero positivo.