Números

Decidir --con prueba-- si $61^{61}+71^{71}$ es divisible entre 11.

¿Cuántos números enteros positivos no mayores que 1000 no son ni cuadrados ni cubos?

 Encontrar todos los primos $q$ tales que $4+2^q$ es múltiplo de $2q.$

Encontrar todos los enteros positivos n tales que $n^{20}+n^{10}+1$ es un primo.

 Demostrar que todo primo impar n excepto el 5 divide a algun numero de la forma $111...11$ ($k$ digitos, todos unos).

Sea $p$ un número primo. Encontrar la condición que debe cumplir n para que $1+n+n^2+....+n^{p-2}$ es múltiplo de $p$.

Determina si existen infinitos enteros $ k $, que cumplen que para cualquier primo $ p $, el numero $p^2+k$ siempre es compuesto.

Por ejemplo si tomamos $k=2$, para $p=2$ dicho numero es compuesto pero para $p=3$ no lo es...

Encontrar todas las tripletas $(p,q,r)$ de números primos tales que $p^q+p^r$ es un cuadrado perfecto.

Encontrar todas las soluciones $(x,y)$  en enteros positivos para la ecuación $7^x-3\cdot 2^y=1.$
 

Sea $p$ un un entero positivo. El número $11p$ está compuesto de $m$ dígitos todos iguales a 1. Encontrar todos los valores de $m$ para los cuales $p$ es primo.