Números

Encontrar las tres últimas cifras de $2009^{9999}$ (argumento fiador requerido).

Encontrar todos los primos $q$ tales que $4+2^q$ es múltiplo de $2q.$

Si $p$ es un primo impar y $a$ es primo con $p$, entonces $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1 \pmod{p}$. (Por ejemplo, todo cuadrado perfecto primo con 5 termina en 1 o en 9 o en 4 o en 6.)
 

Encontrar todas las parejas $(x,y)$ de dígitos, tales que el número $2x1y9$ sea múltiplo de 101.

Encontrar todos los números enteros positivos de cuatro cifras de la forma $n=abab$ (la primera y la tercera cifras son iguales, así como la segunda y la cuarta) y tales que el producto de sus cifras divide a $n^2$.

Demostrar que en un conjunto de 18 números enteros positivos, consecutivos y  menores o iguales a 2009, hay uno que es divisible entre la suma de sus cifras.

Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en enteros positivos de la ecuación diofantina $x^3=19+y^3$
 

Resolver la ecuación diofantina siguiente para enteros no negativos x,y,z:

$$x^2+y^4+z^6=2^{1111}$$

Decidir --con prueba-- si la ecuación diofantina $123x+426y=8$ tiene solución.
 

Si $a, b$ son enteros y cumplen $7a-38b=-2$ ¿qué se puede concluir sobre el máximo común divisor de a y b?