Números

Sean $a$ y $b$ enteros positivos de 8 dígitos cada uno, tales que al quitar cualquier dígito de $a$ (pero solo uno) y colocar el correspondiente en posición con $b$, se cumple que el número formado es divisible entre 7 (en cualquiera de los 8 posibles cambios). Demuestra que $b$ es divisible entre 7.
   

El alumno menos aventajado del salón canceló el 6 en 16/64 y obtuvo 1/4 --la respuesta correcta. Encontrar todos los pares de números de dos cifras ab, bc tales que ab/bc=a/c --con a,b,c dígitos diferentes. (Es decir, todos los casos en que este alumno podría acertar con su método al simplificar quebrados de dos cifras.)

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_k (k\geq 2)$ enteros distintos del conjunto ${1,...,n}$, tales que $n$ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,..., k-1$. Demostrar que $n$ no divide a $a_k(a_1-1)$.

Determine el menor entero positivo $N$  tal que la suma de sus dígitos sea 100 y la suma de $2N$ sea 110

Encontrar todas las soluciones en enteros positivos de la ecuación $1/x+1/y+1/z=1.$

El número 2009 se puede expresar como suma de $n$ enteros impares consecutivos ($n\geq 2$) en varias formas. ¿Cuál es el menor valor posible de $n$?

¿Cuántos números $abc$ de tres dígitos  son tales que al multiplicar los dígitos se obtiene un producto mayor que 60 pero menor que 65?

Encontrar el residuo en la división de $a+b+c$ entre $b$, donde $a,b,c$ son primos y cumplen la ecuación $2009=a^b(c).$
 

Ana fue a McAllen el fin de semana con sus papás. Éstos le regalaron dimes (10 centavos) y quarters (25 centavos). Si los dimes fuesen quarters y los quarters fueran dimes Ana tendría un dollar y 5 centavos (de dollar) menos de lo que ahora tiene.

Demostrar que si $k,n$ son enteros positivos sin divisores en común ($k,n$ primos relativos), entonces el máximo entero positivo que no se puede expresar como suma de múltiplos de $k$ y $n$ es $kn-k-n.$