Números

Si $a$ y $b$ son enteros positivos, pruebe que 19 divide a $11a+2b$ si y sólo si 19 divide a $18a+5b$
 

Demuestre que si $n$ es un entero positivo, entonces $$\frac{n^2 + n -1}{n^2 + 2n}$$ es una fracción irreducible (simplificada).

Demuestre que para cualquier entero positivo $n$, el número $(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es múltiplo de 3804.

Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto.

¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! ? (20! = 1×2×3×· · ·×19×20).

Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001.

Encontrar todos los primos $p,q$ que cumplen la ecuación $p+q^2=q+145p^2$

Encontrar todos los primos $p$ tales que $5^p+4p^4$ es cuadrado perfecto.

El número $10^{10}+10^{10^2}+\ldots+10^{10^{10}}$ se divide entre 7. ¿Cuál es el residuo?

Sean $x,y$ enteros para los cuales existen enteros consecutivos $c$ y $d$ tales que $x-y=x^2c-y^2d$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.