Números

Sean $x,y$ enteros positivos tales que $3x^2+x=4y^2+y$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.

Sea $ n $ un entero positivo. Si $2n$ tiene 30 divisores positivos y $3n$ tiene 32 ¿Cuántos divisores tiene $6n$?

Encontrar todos los valores enteros positivos $ n $  para los cuales $f(n)=n^2-3n+2$ es un número primo. Justifica tu respuesta.

 Con los dígitos $1, 2, \ldots, 9$ ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar, con la condición de que la suma de sus cifras sea par?

Cuantos números de 3 cifras, que la suma de sus cifras sea par se pueden formar con los digitos 1,2,3...9

Hallar un número de tres cifras ab6 sabiendo que las tres últimas cifras de (ab6)² son ab6.

Probar que el número abcabc es múltiplo de 7, de 11 y de 13.

Sean $a,m$ enteros positivos y primos entre sí, y $o$ el exponente entero positivo más pequeño que cumple $a^o\equiv 1\pmod m$. Demostrar que si $a^u$ es equiresidual con el 1 (mod m) entonces $u$ es múltiplo de $o$.

Calcular los residuos que dejan las potencias de 2 en la sucesión geométrica $2,2^2,2^3\ldots$ al dividir entre 17 y, sin hacer el cálculo directo, diga cuál es el residuo que deja $2^{21}$ en la división entre 17 analizando el patrón de los primeros 10 residuos.

Sean $a$ y $g$ enteros positivos coprimos con un módulo $m$ (otro entero positivo), y consideremos los residuos que dejan (en la división entre $m$) los términos de la progresión aritmética $a,ag,ag^2,\ldots$. Demostrar que en esa sucesión de residuos éstos recurren (se repiten por bloques o ciclos), y que si $t$ es el número de términos del período o bloque recurrente, entonces $t\leq \phi(m)$