Números

Encuentra todos los enteros positivos $p$, $q$ y $r$, con $p$ y $q$ números primos, que satisfacen la igualdad:

$$\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1} - \frac{1}{(p+1)(q+1)} = \frac{1}{r}$$

Aplicar un desliz a un entero $n \geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y remplazar $n$ por $\frac{n + p^2}{p}$.

Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido se le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número 5.

Sea $r \geq 1$ un número real que cumple la siguiente propiedad:

Para cada pareja de números enteros positivos $m$ y $n$, con $n$ múltiplo de $m$, se tiene que $\lfloor nr \rfloor$ es múltiplo de $\lfloor mr \rfloor$.

Probar que $r$ es un numero entero.

Nota: Si $x$ es un numero real, denotamos por $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x$.

Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a $$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1$$ entonces $(pqr)^3$ divide a $$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1)$$

Cuántos huevos hay en la canasta si

 Un cierto número (entero positivo) multiplicado por 360 resulta en un cubo perfecto. Encontrarlo.

En un tablero circular hay 19 casillas numeradas en orden del 1 al 19 (a la derecha del 1 está el 2, a la derecha de éste está el 3 y así sucesivamente, hasta el 1 que está a la derecha del 19). En cada casilla hay una ficha. Cada minuto cada ficha se mueve a su derecha el número de la casilla en que se encuentra en ese momento más una; por ejemplo, la ficha que está en el lugar 7 se va el primer minuto 7 + 1 lugares a su derecha hasta la casilla 15; el segundo minuto esa misma ficha se mueve a su derecha 15 + 1 lugares, hasta la casilla 12, etc. Determinar si en algún momento todas las fichas llegan al lugar donde empezaron y, si es así, decir cuántos minutos deben transcurrir.

Encontrar todos los números primos $p$ para los cuales el número $p^2+11$ tiene exactamente 6 divisores positivos (el 1 y el número incluidos).

 Encontrar, con prueba, todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $ab^2+b+7$ divide a $a^2b+a+b$

Sea $m$ un cuadrado perfecto de cuatro cifras menores que 9. Sumando una unidad a cada una de las cifras de $m$ se forma otro cuadrado perfecto. Encontrar $m$.