Números

Sea $p > 3$ un número primo. Si $$\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots+\frac{1}{(p-1)^p}=\frac{n}{m}$$  donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es 1. Demuestre que $p^3$ divide a $n$.

Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a + b$ y $201a + b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que   $$mcd (a, n) = mcd (b, n) = 1, k = a + b.$$

Los números enteros del 1 al 2002, se escriben en una pizarra en orden creciente 1, 2, . . . , 2001, 2002. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma $3k + 1$. En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma $3k +1$. Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?

Decimos que un número natural $n$ es "charrúa" si satisface simultáneamente las siguientes condiciones:

• Todos los dígitos de $n$ son mayores que 1.
• Siempre que se multiplican cuatro dígitos de $n$, se obtiene un divisor de $n$.

Demostrar que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.

 Sea $B$ un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto $\{1, 3, 7, 9\}$. Demuestre que $B$ tiene un factor primo mayor o igual que 11.

Halle todos los enteros positivos menores que 1000 y tales que el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.

 Hallar el mínimo número natural $n$ con la siguiente propiedad: entre cualesquiera $n$ números distintos, en el conjunto $\{1, 2, \ldots, 999\}$ es posible elegir cuatro diferentes $a, b, c, d$, tales que $a + 2b + 3c = d$.

Demuestra que todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos

 Demostrar que para todo número primo $p$ distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de $p$ de la forma 1111...1 (escrito sólo con unos).