Publicaciones Recientes
Criterio de potencia para cíclico
En un triángulo ABC, sean I el centro de la circunferencia inscrita y D,E y F sus puntos de tangencia con los lados BC,AC y AB, respectivamente. Sea P el otro punto de intersección de la recta AD con la circunferencia inscrita. Si M es el punto medio de EF, demostrar que los cuatro puntos P,I,M y D pertenecen a una misma circunferencia.
Una función recursiva
Sea f una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:
- (I) Si n=2j−1, para n=0,1,2,…, entonces f(n)=0
- (II) Si n≠2j−1,paran=0,1,2,…,entoncesf(n+1) = f(n) -1$.
a) Demostrar que para todo entero n, mayor o igual que cero, existe un entero k, mayor que cero, tal que f(n)+n=2k−1
b) Calcular f(21990)
Los 100 nueves!!!
Encuentra las ultimas 4 cifras del numero que se forma al sumar 9+99+999+9999+99999+999999+..........+ 999......999 (el ultimo numero esta formado por 100 nueves).
Soluciones infinitas
Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación
2x^2 - 3x = 3y^2: 2x2−3x+1=3y2+y
Rango de una función
Sea la función f definida sobre el conjunto {1,2,3,…} tal que
f(1)=1
f(2n+1)=f(2n)+1
f(2n)=3f(n)
Determinar el conjunto de valores que toma f
Una propiedad del incentro
La circunferencia inscrita en el triángulo ABC, es tangente a los lados AB y AC en los puntos M y N, respectivamente. Las bisectrices de A y B intersecan a MN en los puntos P y Q, respectivamente. Sea O el incentro del triángulo ABC. Probar que MP⋅OA=BC⋅OQ
Desigualdad sobre los lados de un triángulo
Sean a,b,c las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que:
|a−ba+b+b−cb´c+c−aca|<116
Desigualdad trigonométrica
Sean x,y,z tres números reales tales que 0<x<y<z<π/2. Demostrar la desigualdad:
π/2+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z
Sistema no lineal de ecuaciones
Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de
ecuaciones siguiente:
x+y−z=−1x2−y2+z2=1−x3+y3+z3=−1
Sucesión libre de promedios
Considere los conjuntos de n números naturales diferentes de cero en los cuales no hay tres elementos en progresión aritmética. Demuestre que, en uno de esos conjuntos, la suma de los inversos de sus elementos es máximo.
