Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P4. OMM 1988. Ocho enteros entre uno y ocho
¿Cuántas maneras hay de escoger ocho enteros a1,a2,a3,…,a8 no necesariamente distintos, tales que 1≤a1≤…≤a8≤8?
P3. OMM 1988. Área de triángulo de tangentes comunes
Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
P2. OMM 1988. Expresiones equiresiduales (módulo 19)
Si a y b son enteros positivos, pruebe que 19 divide a 11a+2b si y sólo si 19 divide a 18a+5b
P8. OMM 1987. El último de la primera nacional (de geometría tridimensional)
- Tres rectas en el espacio l, m, n concurren en el punto S y un plano perpendicular a m corta a l, m, n en A, B y C respectivamente. Suponga que los ángulos ASB y BSC son de 45° y que el ángulo ABC es recto. Calcule el ángulo ASC.
- Si un plano perpendicular a l corta a l, m, n en P, Q y R respectivamente y si SP = 1, calcule los lados del triángulo PQR.
P7. OMM 1987. Problema clásico de cocientes de polinomios de la OMM
Demuestre que si n es un entero positivo, entonces n2+n−1n2+2n es una fracción irreducible (simplificada).
P6. OMM 1987. Divisibilidad clásico de la OMM
Demuestre que para cualquier entero positivo n, el número (n3−n)(58n+4+34n+2) es múltiplo de 3804.
P5. OMM 1987. Triángulo rectángulo y tres área iguales imposibles
Considere un triángulo rectángulo ABC donde la hipotenusa es BC. M un punto en BC; P y Q las proyecciones de M en AB y BC, respectivamente. Pruebe que, para ninguno de tales puntos M, son iguales las áreas de BPM, MQC y AQMP (las tres al mismo tiempo).
P4. OMM 1987. Producto de enteros menores que 100 y con tres divisores
Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto.
P3. OMM 1987. Lugar geométrico de la proyección de un punto
Considere dos rectas ℓ y ℓ′ y un punto fijo P que diste lo mismo de ℓ, que de ℓ′. ¿Qué lugar geométrico describen los puntos M que son proyección de P sobre AB, donde A está en ℓ, B está en ℓ′, y el ángulo APB es recto.
P2. OMM 1987. Divisores de 20 factorial
¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! ? (20! = 1×2×3×· · ·×19×20).
Circunferencias inscritas en ángulo e isósceles
Dos circunferencias están inscritas entre los lados de un triángulo isósceles ABC (con AB=AC) y los de un ángulo, uno de los cuales pasa por A y el otro incluye la base BC del isósceles. Encontrar la relación entre la altura de A respecto a la base BC y los radios de las circunferencias.
Círculos internamente tangentes
Sean Γ y Γ1 dos círculos tangentes internamente en A y con centros O y O1, respectivamente. Sea B el punto en Γ diametralmente opuesto al punto A, y C un punto en Γ tal que BC es tangente a Γ1 en P. Sea A′ el punto medio de BC. Suponiendo que O1A′ es paralela a AP, calcular la razón r/r1.
Raíces cúbicas de números racionales
Sean p,q,r números racionales no nulos tales que
3√pq2+3√qr2+3√rp2
es un número racional no nulo. Demostrar que
13√pq2+13√qr2+13√rp2 es también un número racional.
Embaldosado de un patio
Se desea embaldosar un patio cuadrado de lado N entero positivo. Se dispone de dos tipos de baldosas: cuadradas de 5×5, y rectangulares de 1×3. Determine los valores de N para los cuales es posible hacerlo. Nota: el patio debe quedar completamente cubierto sin que las baldosas se sobrepongan.
Mover una ficha en un tablero
Un jugador coloca una ficha en una casilla de un tablero m\timesn dividido en cuadrados de tamaño 1×1. El jugador mueve la ficha de acuerdo a las siguientes reglas:
- En cada movida, el jugador mueve la ficha a un cuadrado que comparte un lado con el cuadrado en que se encuentra.
- El jugador no puede mover la ficha a un cuadrado que ha ocupado previamente.
- Dos movimientos consecutivos no pueden tener la misma dirección.
El juego termina cuando el jugador no puede mover la ficha. Determine todos los valores de m y n tales que, al colocar la ficha en algún cuadrado, todos los cuadrados pueden ser ocupados durante el juego.
Tangente al circuncírculo
En el triángulo ABC, L,M,N son los puntos medios de los lados BC,CA,AB, respectivamente. La tangente por A al circuncírculo de ABC, corta en P y Q a las rectas LM y LN, respectivamente. Demostrar que CP es paralela a BQ.
Suma de dígitos
Si S(n) denota la suma de los dígitos de un número natural n, encontrar todas las soluciones de n(S(n)−1)=2010 y demostrar que son las únicas.
Posible cambio de variables en desigualdades (2)
Sean x,y,z números reales positivos. Demostrar que si xy+yz+zx+2xyz=1, entonces existen números a,b,c reales positivos tales que
x=ab+c,y=bc+a,z=ca+b
Posible cambio de variables en desigualdades
Sean x,y,z números reales positivos y σ1=x+y+z, σ2=xy+yz+zx, σ3=xyz. Demostrar que si σ3=σ1+2, entonces existen números a,b,c reales positivos tales que x=b+ca,y=c+ab,z=a+bc
Un ejercicio algebraico con polinomios simétricos
Sean x,y,z números reales positivos y σ1=x+y+z, σ2=xy+yz+zx, σ3=xyz, los polinomios simétricos elementales para tres variables. Demostrar que 1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=1 si y sólo si σ3=σ1+2. (En otras palabras, las ecuaciones 1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=1 y xyz=x+y+z+2 pueden ser transformadas una en la otra mediante operaciones algebraicas.)