Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

P6. La lista de Germán

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:16.

Sea $n$ un entero positivo. Germán tiene una lista de $n$ números enteros. Si suma todos sus números, obtiene 6. Si los multiplica, también obtiene 6. Encuentra todos los posibles valores para $n$. 

Problema

P5. Dos circunferencias, una perpendicular.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:12.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\omega$ su circuncírculo. Sea $\Gamma$ un círculo con centro $A$ de forma que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ de $\omega$ en un punto $D$ y al arco $AC$ que no contiene a $B$ de $\omega$ en un punto  $E$. Sea $K$ la intersección de $BE$ con $CD$ de tal forma que $K$ esté sobre $\Gamma$. Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$.

Problema

P4. Ceros y Unos en un pizarrón.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:08.
Sea $n$ entero positivo. Hay $2n$ números escritos en el pizarrón: $n$ 0’s y $n$ 1’s. Una movida consiste en escoger dos números del pizarrón, borrarlos y escribir 0 si eran iguales o 1 si eran distintos. Despues de hacer varias movidas, queda solo un número.
  • ¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número par?
  • ¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número impar?
    
Problema

P3. Desigualdades en un selectivo

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:05.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=\frac{1}{8}$. Demuestra que: \[a^2+b^2+c^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq\frac{15}{16}\]

Problema

P2. Los monos de Daniel

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:02.

Daniel tiene 1600 plátanos y 100 monos. Él va a repartir sus plátanos entre sus 100 monos (pero no de forma justa, algunos tendrán más plátanos que otros, incluso habrá monos que no reciban ningún plátano). Demuestra que al menos 4 monos tendrán la misma cantidad de plátanos.

Problema

P1. Repaso de la cantidad de divisores de un número.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:00.
Un entero positivo $n$ tiene exactamente 2 divisores, mientras que el número $n + 1$ tiene exactamente 3
divisores. ¿Cuál es la mayor cantidad de divisores que puede tener el número $n + 2$?
Problema

3.- Los delegados de Tamaulipas jugando una modificación de ajedrez

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 13:57.

Considera un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Orlando y Moisés juegan alternando turnos, comenzando por Orlando. Cada uno en su turno coloca un alfil en alguna casilla del tablero vacía, de tal forma que los alfiles no se ataquen entre sí. Pierde el jugador que coloque un alfil que sea atacado por otro previamente. Si los alfiles son del mismo color (es decir, o tienen puros alfiles blancos o puros alfiles negros), determina quién tiene una estrategia ganadora y descríbela. 
Nota: un jugador puede atacarse a sí mismo. 

Problema

2.- Ecuación de ternas en progresión Geométrica

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 13:47.

Determina todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ con $0<a<b<c$ en progresión geométrica para las cuales se cumplen las siguientes dos ecuaciones: 

$$a+b+c=35$$

$$a^2+b^2+c^2=525$$

Problema

1.- Aprovecha el radio con isósceles.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 13:40.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $ABC=60$° y sea $O$ su circuncentro de tal forma que $CBO=45$°. La recta $BO$ corta al segmento $AC$ en $D$. Demuestra que el triángulo AOD es isósceles y encuentra la medida de sus ángulos.  

Problema

P4. Razones de semejanza estatales

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 12:21.
 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ABC=90$. Sea $U$ un punto cualquiera sobre $AC$. Sean $D$ y $E$ puntos sobre $AB$ y $BC$ de tal forma que $\angle EUD=90$. Se traza un segmento perpendicular a $AC$ desde $D$ y el punto de intersección se llama $F$. Asímismo, se traza un segmento perpendicular a $AC$ desde $E$, y el punto de intersección es $G$. Demuestra que: 
    $$\frac{AF}{FU}=\frac{GU}{CG}$$
Problema

P3. Un fotógrafo amante de la combinatoria

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 12:09.
Se desea sacarle una foto a una familia de 8 personas, todas de estaturas diferentes.
El fotógrafo quiere ordenarlos en dos filas de cuatro personas, ambas filas con estaturas ascendentes de izquierda a derecha y de modo que cada persona de la fila de atrás sea más alta que la que tiene delante. ¿De cuántas maneras diferentes pueden acomodarse las 8 personas para la foto cumpliendo las condiciones anteriores?
Problema

P2. Números parciales y totales

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 12:07.

Para cualquier número natural, llamemos ``números parciales'' a los números formados por sus dígitos. Por ejemplo, los números parciales de 149 son 1, 4, 9, 14, 19, 49 y 149, y los números parciales de 313 son 3, 1, 31, 33, 13 y 313. Un número natural es ``totalmente primo'' si todos sus ``números parciales'' son números primos. Encuentra todos los números ``totalmente primos''.

Problema

P1. La lista de David

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 12:03.

David hace una lista de 2024 números. El primero de ellos es 1, y los demás se obtienen de sumarle al anterior alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9. Si ningún número de la lista termina en 0, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista? 

Problema

P8. Al menos $n-2$ enteros primos en la secuencia $2^kn$

Enviado por jesus el 13 de Junio de 2024 - 20:09.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que los $n$ números \[2n+1, \quad 2^2n+1,\quad \dots,\quad 2^nn+1\] se tiene que $n$, $n-1$ o $n-2$ de ellos son números primos.

Problema

P7. Raíces de cuadráticas

Enviado por jesus el 13 de Junio de 2024 - 11:33.

Consideremos la ecuación cuadrática $x^2+a_0x+b_0$ para algunos reales $(a_0, b_0)$. Repetimos el siguiente proceso tantas veces como sea posible:

Tomamos $r_i$, $s_i$ las raíces de la ecuación $x^2+a_ix +b_i=0$ y $c_i = \min\{r_i, s_i\}$. Y escribimos la nueva ecuación $x^2 +b_ix +c_i$. Es decir, para la repetición $i+1$ del proceso $a_{i+1} = b_i$ y $b_{i+1} = c_i$

Decimos que $(a_0, b_0)$ es una pareja interesante si, después de un número finito de repeticiones, cuando volvemos a realizar el proceso de la nueva ecuación escrita es la misma que la anterior, de manera que $(a_{i+1}, b_{i+1}) = (a_i,b_i)$

Nota: Las raíces de una ecuación son los valores de $x$ tales que $x^2+ax+b=0$

Problema

P6. Tablero 4x4 y paridad de coloreado

Enviado por jesus el 13 de Junio de 2024 - 11:25.
En un tablero $4 \times 4$ cada casilla se colorea de negro o blanco de tal manera que cada fila y cada columna tenga una cantidad par de casillas negras. ¿De cuántas maneras se puede colorear el tablero?
Problema

P5. Calcula el área del cudrilátero DHEO

Enviado por jesus el 13 de Junio de 2024 - 10:44.

Se tiene el triángulo acutángulo $ABC$. El segmento $BC$ mide 40 unidades. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $O$ su circuncentro. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $E$ el pie de la altura desde $B$. Además el punto $D$ parte al segmento $BC$ de manera que $\frac{BD}{DC} = \frac{3}{5}$. Si la mediatriz del segmento $AC$ pasa por el punto $D$, calcula el área del cuadrilátero $DHEO$.

Nota: El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. El circuncentro es el centro del círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

Problema

P4. Ana y Beto coloreando cuadrados

Enviado por jesus el 12 de Junio de 2024 - 13:25.

Hay 6 cuadrados en una fila. Cada uno se etiqueta con el nombre de Ana o Beto y con un número del 1 al 6, usando cada cada número sin repetir. Ana y Beto juegan a pintar cada cuadrado siguiendo el orden de los números en las etiquetas. Quien pinte el cuadrado será la persona cuyo nombre esté en la etiqueta. Al pintarlo, la persona podrá elegir si pintar el cuadrado de rojo o azul. Beto gana si al final hay la misma cantidad de cuadrados azules como rojos, y Ana gana en caso contrario. ¿En cuántas de todas las posibles maneras de etiquetar los cuadrados puede Beto asegurar su cictoria?

El siguiente es un ejemplo de una asignación de etiquetas.

Problema

P3. Triángulo, Altura y punto en Mediatriz.

Enviado por jesus el 12 de Junio de 2024 - 12:39.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ un punto tal que $MB = MC$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncírculo de $BMD$ y $CMD$ con $AD$. Sean $G$ y $H$ las intersecciones de $MB$ y $MC$ con $AD$. Demuestra que $EG = FH$

Problema

P2. Papelitos con números y fracciones con raíces cuadradas racionales.

Enviado por jesus el 12 de Junio de 2024 - 11:51.

Se tienen 50 papelitos con los números del 1 al 50. Se quieren tomar 3 papelitos de tal manera que a cualquiera de los 3 números, dividido entre el máximo común divisor de los otros dos, se le puede sacar la raíz cuadrada de tal manera que quede un número racional.

¿Cuántas tercias (no ordenadas) de papelitos cumplen esta condición?

Nota: Un número es racional si se puede escribir como la división de 2 enteros.