Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

P6. Borrando pizarrón hasta que ambos sumen un múltiplo de 3

Enviado por Samuel Elias el 10 de Noviembre de 2024 - 17:14.

Ana y Beto juegan en un pizarrón donde se han colocado los números del 1 al 2024. En cada turno Ana escoge tres números $a,b,c$ escritos en el pizarrón y en su turno Beto los borra y reescribe alguno de los números: 

$$a+b-c, a-b+c, b+c-a$$

El juego termina cuando quedan solamente dos números y Ana no puede hacer su jugada. si la suma de los números que quedan al final es múltiplo de 3, Beto gana. En caso contrario, Ana gana. ¿Quién puede asegurar su victoria? 

Problema

P5. Conjuntos infinitos iguales y uno en sucesión aritmética

Enviado por Samuel Elias el 10 de Noviembre de 2024 - 17:05.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de números reales positivos tales que:

  • Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es elemento de $B$
  • Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$

Prueba que $A=B$ o existe un número real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, \dots \}$

Problema

P4. Cuarta concurrencia en un ortocentro

Enviado por Samuel Elias el 10 de Noviembre de 2024 - 16:59.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y sea $M$ un punto del segmento $BC$. La recta por $M$ y perpendicular a $BC$ corta a las rectas $BH$ y $CH$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que la recta $AM$ pasa por el ortocentro del triángulo $HPQ$.

Problema

P3. Hexágono, puntos medios, dodecágono, estrella

Enviado por Samuel Elias el 10 de Noviembre de 2024 - 16:55.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ los puntos medios de $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ respectivamente. Se construyen los puntos $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que:

  • El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene sus 12 lados iguales
  • $\angle A_1B_2B_1 + \angle C_1D_2D_1 + \angle E_1F_2F_1 = \angle B_1C_2C_1 + \angle D_1E_2E_1 + \angle F_1A_2A_1 = 360$°, donde todos los ángulos son menores a 180°

Demuestra que $Α_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es cíclico. 

Problema

P2. Divisores consecutivos

Enviado por Samuel Elias el 10 de Noviembre de 2024 - 16:45.

Determina todas las parejas de enteros $(a, b)$ que satisfacen:

  • $5 \leq b < a$
  • Existe un número natural $n$ tal que los números $\frac{a}{b}$ y $a-b$ son divisores consecutivos de $n$, en ese orden. Es decir, que no existe un divisor $d$ de $n$ tal que $\frac{a}{b} < d < a-b$
Problema

P1. Rompecabezas especial

Enviado por Samuel Elias el 10 de Noviembre de 2024 - 16:41.

En la figura se, se muestran las 6 maneras distintas en que se puede colorear un cuadrado de $1 \times 1$ subdividido en 4 cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ con cuatro colores distintos (dos coloreados se consideran iguales si es posible rotar uno para obtener el otro). Cada uno de estos cuadrados de $1 \times 1$ se usará como pieza de un rompecabezas. Las piezas se pueden rotar, pero no reflejar. Dos piezas $encajan$ si al unirlas por un lado completo, los cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ a ambos lados del lado por el que se unen son del mismo color (ver ejemplos). ¿Es posible armar un rompecabezas de $3 \times 2$ utilizando cada pieza exactamente una vez y de forma que todas las piezas adyacentes encajen? 

Problema

P6. La lista de Germán

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:16.

Sea $n$ un entero positivo. Germán tiene una lista de $n$ números enteros. Si suma todos sus números, obtiene 6. Si los multiplica, también obtiene 6. Encuentra todos los posibles valores para $n$. 

Problema

P5. Dos circunferencias, una perpendicular.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:12.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\omega$ su circuncírculo. Sea $\Gamma$ un círculo con centro $A$ de forma que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ de $\omega$ en un punto $D$ y al arco $AC$ que no contiene a $B$ de $\omega$ en un punto  $E$. Sea $K$ la intersección de $BE$ con $CD$ de tal forma que $K$ esté sobre $\Gamma$. Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$.

Problema

P4. Ceros y Unos en un pizarrón.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:08.
Sea $n$ entero positivo. Hay $2n$ números escritos en el pizarrón: $n$ 0’s y $n$ 1’s. Una movida consiste en escoger dos números del pizarrón, borrarlos y escribir 0 si eran iguales o 1 si eran distintos. Despues de hacer varias movidas, queda solo un número.
  • ¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número par?
  • ¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número impar?
    
Problema

P3. Desigualdades en un selectivo

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:05.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=\frac{1}{8}$. Demuestra que: \[a^2+b^2+c^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq\frac{15}{16}\]

Problema

P2. Los monos de Daniel

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:02.

Daniel tiene 1600 plátanos y 100 monos. Él va a repartir sus plátanos entre sus 100 monos (pero no de forma justa, algunos tendrán más plátanos que otros, incluso habrá monos que no reciban ningún plátano). Demuestra que al menos 4 monos tendrán la misma cantidad de plátanos.

Problema

P1. Repaso de la cantidad de divisores de un número.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:00.
Un entero positivo $n$ tiene exactamente 2 divisores, mientras que el número $n + 1$ tiene exactamente 3
divisores. ¿Cuál es la mayor cantidad de divisores que puede tener el número $n + 2$?
Problema

3.- Los delegados de Tamaulipas jugando una modificación de ajedrez

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 13:57.

Considera un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Orlando y Moisés juegan alternando turnos, comenzando por Orlando. Cada uno en su turno coloca un alfil en alguna casilla del tablero vacía, de tal forma que los alfiles no se ataquen entre sí. Pierde el jugador que coloque un alfil que sea atacado por otro previamente. Si los alfiles son del mismo color (es decir, o tienen puros alfiles blancos o puros alfiles negros), determina quién tiene una estrategia ganadora y descríbela. 
Nota: un jugador puede atacarse a sí mismo. 

Problema

2.- Ecuación de ternas en progresión Geométrica

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 13:47.

Determina todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ con $0<a<b<c$ en progresión geométrica para las cuales se cumplen las siguientes dos ecuaciones: 

$$a+b+c=35$$

$$a^2+b^2+c^2=525$$

Problema

1.- Aprovecha el radio con isósceles.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 13:40.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $ABC=60$° y sea $O$ su circuncentro de tal forma que $CBO=45$°. La recta $BO$ corta al segmento $AC$ en $D$. Demuestra que el triángulo AOD es isósceles y encuentra la medida de sus ángulos.  

Problema

P4. Razones de semejanza estatales

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 12:21.
 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ABC=90$. Sea $U$ un punto cualquiera sobre $AC$. Sean $D$ y $E$ puntos sobre $AB$ y $BC$ de tal forma que $\angle EUD=90$. Se traza un segmento perpendicular a $AC$ desde $D$ y el punto de intersección se llama $F$. Asímismo, se traza un segmento perpendicular a $AC$ desde $E$, y el punto de intersección es $G$. Demuestra que: 
    $$\frac{AF}{FU}=\frac{GU}{CG}$$
Problema

P3. Un fotógrafo amante de la combinatoria

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 12:09.
Se desea sacarle una foto a una familia de 8 personas, todas de estaturas diferentes.
El fotógrafo quiere ordenarlos en dos filas de cuatro personas, ambas filas con estaturas ascendentes de izquierda a derecha y de modo que cada persona de la fila de atrás sea más alta que la que tiene delante. ¿De cuántas maneras diferentes pueden acomodarse las 8 personas para la foto cumpliendo las condiciones anteriores?
Problema

P2. Números parciales y totales

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 12:07.

Para cualquier número natural, llamemos ``números parciales'' a los números formados por sus dígitos. Por ejemplo, los números parciales de 149 son 1, 4, 9, 14, 19, 49 y 149, y los números parciales de 313 son 3, 1, 31, 33, 13 y 313. Un número natural es ``totalmente primo'' si todos sus ``números parciales'' son números primos. Encuentra todos los números ``totalmente primos''.

Problema

P1. La lista de David

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 12:03.

David hace una lista de 2024 números. El primero de ellos es 1, y los demás se obtienen de sumarle al anterior alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9. Si ningún número de la lista termina en 0, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista? 

Problema

P8. Al menos $n-2$ enteros primos en la secuencia $2^kn$

Enviado por jesus el 13 de Junio de 2024 - 20:09.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que los $n$ números \[2n+1, \quad 2^2n+1,\quad \dots,\quad 2^nn+1\] se tiene que $n$, $n-1$ o $n-2$ de ellos son números primos.