Problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo (cada uno de sus ángulos es menor a 180 grados) y considere los pies de las alturas de los cuatro triángulos que se pueden formar con los vértices $A,B,C$ y $D$. Demuestre que no importa qué cuadrilátero convexo se tome, alguno de estos 12 puntos se encuentra sobre un lado del cuadrilátero.

Considere un paralelogramo $ABCD$ (con $AB$ paralela a $CD$ y $BC$ paralela a $DA$). Sobre la prolongación del lado $AB$ encuentre un punto $E$, de manera que $BE = BC$ (y con $B$ entre $A$ y $E$). Por $E$, trace una perpendicular a la línea $AB$, ésta se encontrará en un punto $F$ con la línea que pasa por $C$ y es perpendicular a la diagonal $BD$. Muestre que $AF$ divide en dos ángulos iguales al ángulo $DAB$.

La colección infinita de números $1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, \ldots$ se ha
formado de la siguiente manera: Se coloca primero el primer impar $(1)$,
luego los siguientes dos pares $(2, 4)$, después los siguientes tres impares
$(5, 7, 9)$, luego los cuatro pares siguientes al último impar que se colocó
y así sucesivamente. Encuentra el término de la secuencia más cercano a
1994.

Por un punto $O$ de una circunferencia, se tienen tres cuerdas que sirven
como diámetros de tres circunferencias. Además del punto común $O$, las
circunferencias se intersectan por parejas en otros tres puntos. Demuestre
que tales puntos son colineales.
 

Encuentre los números de tres cifras tales que la suma de los cubos de éstas es igual al número.

Sea $ABCD$ un rectángulo. Sean $I$ el punto medio de $CD$ y $M$ la intersección de $BI$ con la diagonal $AC$.

• 1. Pruebe que $DM$ pasa por el punto medio de $BC$.
• 2. Sea $E$ el punto exterior al rectángulo tal que $ABE$ sea un triángulo
  isósceles y rectángulo en $E$. Además, supongamos que $BC = BE = a$.
  Pruebe que $ME$ es bisectriz del ángulo $AMB$.
• 3. Calcule el área del cuadrilátero $AEBM$ en función de $A$.

Muestre que $100$ divide a la suma de potencias $$1+11^{11}+111^{111}+\ldots+1111111111^{1111111111}$$

Sea $p$ un número primo, diga cuántas cuartetas distintas $(a, b, c, d)$ existen, con a, b, c y d enteros y $0 \leq a, b, c, d \leq p-1$, tales que $ad - bc$ sea múltiplo de $p$.

En un polígono de $n$ lados, ($n \geq 4$) se considera una familia $T$ de triángulos, formados con los vértices del polígono, con la propiedad de que cada dos triángulos de la familia cumple alguna de las siguientes dos condiciones:
– No tienen dos vértices en común.
– Tienen dos vértices en común.
Demuestre que $T$ tiene a lo más $n$ triángulos.