Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P5 OMM 1991. Suma de cuadrados cuadrado
La suma de los cuadrados de dos números consecutivos puede ser un cuadrado perfecto (por ejemplo $3^2 + 4^2 = 5^2$).
a) Pruebe que la suma de los cuadrados de $m$ enteros consecutivos no puede
ser un cuadrado para $m$ igual a 3 y 6.
b) Encuentre un ejemplo de 11 números consecutivos cuya suma de cuadrados sea un cuadrado perfecto.
P4 OMM 1991. Ocho puntos concíclicos
Considere un cuadrilátero convexo $ABCD$ en el que las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan formando ángulo recto. Sean $M, N, R$ y $S$ los puntos medios de los segmentos $AB, BC, CD$ y $AD$, respectivamente. Sean $W,X, Y$ y $Z$ las proyecciones de los puntos $M, N, R$ y $S$ sobre las rectas $DC, AD, AB$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que todos los puntos $M, N,R, S, W, X, Y$ y $Z$ están sobre una misma circunferencia.
P3 OMM 1991. Cuatro canicas en una esfera
Se tienen 4 canicas de radio uno colocadas en el espacio de tal manera que
cada una de ellas es tangente a las otras tres. ¿Cuál es el radio de la esfera
más pequeña que contiene a las canicas?
P2 OMM 1991. Soldados capicúas
Una compañía de $ n $ soldados es tal que:
- $ n $ es un número capicúa (se lee igual al derecho y al revés, como 15651, 9436349).
- Si los soldados se forman:
--de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila;
--de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila;
--de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.
a) Hallar el menor $n$ que cumple las condiciones.
b)Demostrar que hay una infinidad de valores $ n $ que las satisfacen.
P1 OMM 1991. Fracciones con denominador 1991
Calcule la suma de todas las fracciones positivas irreducibles (simplificadas)
menores que uno y con denominador es 1991.
P6. OMM 1990. Una configuración cargada de teoría
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $C$. Sea $l$ cualquier recta que pase por $B$ y que corte al lado $AC$ en un punto $E$. Sean $F$ el punto medio de $EC$, $G$ el punto medio de $CB$ y $H$ el pie de la altura de $C$, respecto a $AB$, en el triángulo $ABC$. Si $I$ denota el circuncentro del triángulo $AEH$ (punto de intersección de las mediatrices de los lados), pruebe que los triángulos $IGF$ y $ABC$ son semejantes.
P5. OMM 1990. Baricentro de coordenadas enteras
Si $P_1,P_2,\ldots,P_{19}$ son diecinueve puntos del plano con coordenadas enteras tales que cada tres de ellos son no colineales, demuestre que hay tres con la propiedad de que su baricentro (punto de intersección de las medianas de un triángulo), también tiene coordenadas enteras.
P4. OMM 1990. Fichas de dominó
Considere las veintisiete fichas de dominó que quedan quitando la blanca-blanca. Tomando en cuenta los puntos que hay en una ficha, a cada ficha le corresponde un número racional menor o igual que uno. ¿Cuál es la suma de todos estos números?
P3. OMM 1990. ¿Inducción? OK ¿Pero te queda claro qué debes demostrar?
Pruebe que $n^{n-1}-1$ es divisible entre $(n-1)^2$ para todo entero $n\geq2$
P2. OMM 1990. Relación de inradios
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $B$, y $H$ el punto de intersección del lado $AC$ y la altura por $B$. Llamemos $r,r_1,r_2$ a los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $ABC,ABH,HBC$, respectivamente. Encuentre una igualdad que relacione $r,r_1,r_2$.
P1. OMM 1990. Paseos en una cuadrícula
Encuentre el total de caminos que hay del punto $A$ a línea $l$ en la red de la siguiente figura, si en un camino solo está permitido ir hacia la izquierda.
P6. OMM 1989. Trayectorias en retícula triangular
Siguiendo las líneas de la figura ¿Cuántos caminos hay para ir del punto $A$ al punto $B$ que no pasen dos veces por el mismo punto y que solo avancen hacia abajo y hacia los lados pero no hacia arriba?
P5. OMM 1989. Círculos tangentes
Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos tangentes de radio 1 dentro de un círculo $C$ de radio 2. Sea $C_3$ un círculo dentro de $C$ tangente a cada uno de los círculos $C,C_1,C_2$. Sea $C_4$ un círculo dentro de $C$ tangente a $C,C_1,C_3$. Demuestre que los centros de $C,C_1,C_3,C_4$ son los vértices de un rectángulo.
P4. OMM 1989. Números en expansión decimal
Encuentre el entero positivo mas pequeño $ n $ tal que, si su expansión decimal es $ n=a_ma_{m-1}\ldots{a_2}a_1a_0 $ y $r$ es el número cuya expansión decimal es $r=a_1a_0a_ma_{m-1}\ldots{a_2}0$, entonces $r$ es el doble de $n$.
P3. OMM 1989. Número de 1989 cifras
Pruebe que no existe un número positivo de 1989 cifras que tenga al menos tres de ellas iguales a 5 y tal que la suma de todas las cifras sea igual al producto de las mismas.
P2. OMM 1989. Múltiplos encadenados
Encuentre dos números enteros $a$ y $b$ tales que:
- $b^2$ es múltiplo de $a$;
- $a^3$ es múltiplo de $b^2$;
- $b^4$ es múltiplo de $a^3$;
- $a^5$ es múltiplo de $b^4$;
- pero $b^6$ no es múltiplo de $a^5$.
P1. OMM 1989. Áreas y medianas
Considere un triángulo $ABC$ en el que la longitud del lado $AB$ es 5, las medianas por $A$ y por $B$ son perpendiculares entre sí y el área es 18. Hallar las longitudes de los lados $BC$ y $AC$.
P8. OMM 1988. Esfera en octaedro
Calcule el volumen del octaedro que circunscribe a una esfera de radio 1.
P7. OMM 1988. Subconjuntos ajenos de {1,2,...,m}
Si $A$ y $B$ son subconjuntos ajenos del conjunto $\{1,2,\ldots,m\}$ y la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B$, pruebe que el número de elementos de $A$ y también de $B$ es menor que $m/\sqrt{2}$
P6. OMM 1988. Lugar geométrico del incentro
Considere dos puntos fijos $B$ y $C$ de una circunferencia $W$. Encuentre el lugar geométrico de las intersecciones de las bisectrices de los triángulos $ABC$, cuando $A$ es un punto que recorre $W$.