Problemas

En un cuadrilátero $ABCD$, inscrito en una circunferencia, llamemos $P$ al punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, y sea $M$ el punto medio de $CD$. La circunferencia que pasa por $P$ y que es tangente a $CD$ en $M$ corta a $BD$ y $AC$ en los puntos $Q$ y $R$ respectivamente. Se toma un punto $S$ sobre el segmento $BD$ de tal manera que $BS = DQ$. Por $S$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $AC$ en un punto $T$. Prueba que $AT = RC$.

Encuentra todos los números de 7 dígitos que son múltiplos de 3 y de 7,
y cada uno de cuyos dígitos es 3 o 7.

Se tiene un tablero de $n\times n$, pintado como tablero de ajedrez. Está permitido efectuar la siguiente operación en el tablero:

• Escoger un rectángulo en la cuadrícula de tal manera que las longitudes de sus lados sean ambas pares o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al mismo tiempo, e
• invertir los colores de los cuadritos de ese rectángulo.

Encuentra para qué valores de $ n $ es posible lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color después de haber efectuado la operación el número de veces que sea necesario. (Nota: Las dimensiones de los rectángulos que se escogen pueden ir cambiando).

Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, construimos el conjunto $A'$ poniendo todos los elementos de $A$ y todos los enteros positivos que se pueden obtener de la siguiente manera:

• Se escogen algunos elementos de $A$, sin repetir, y a cada uno de esos números se le pone el signo $+$ o el signo $-$;
• luego se suman esos números con signo, y el resultado se pone en $A'$.

Por ejemplo, si $A = {2, 8, 13, 20}$, entonces algunos elementos de $A'$ son 8 y 14 (pues 8 es elemento de $A$, y 14 = 20+2-8).

Sean $A, B, C, D$ circunferencias tales que $A$ es tangente exteriormente a $B$ en $P$, $B$ es tangente exteriormente a $C$ en $Q$, $C$ es tangente exteriormente a $D$ en $R$, y $D$ es tangente exteriormente a $A$ en $S$. Supón que $A$ y $C$ no se intersectan, ni tampoco $B$ y $D$.

• Prueba que los puntos $P, Q, R$ y $S$ están todos sobre una circunferencia.

Supón además que $A$ y $C$ tienen radio 2, $B$ y $D$ tienen radio 3, y la distancia entre los centros de $A$ y $C$ es 6.

• Determina el área del cuadrilátero $PQRS$.

$ABCD$ es un trapecio con $AB$ paralelo a $CD$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$ se intersectan en $P$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $A$ y $D$ se intersectan en $Q$. Demuestre que la longitud de $PQ$ es igual a la mitad del perímetro del trapecio $ABCD$.

Considere un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$. Sean $D, E$ y
$F$ los puntos medios de $AP, BP$ y $CP$ respectivamente y $L, M$ y $N$ los
puntos de intersección de $BF$ con $CE$, $AF$ con $CD$ y $AE$ con $BD$.

• Muestre que el área del hexágono $DNELFM$ es igual a una tercera parte del área del triángulo $ABC$.
• Muestre que $DL, EM$ y $FN$ concurren.

Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuántas con el lado rojo hacia arriba ni cuántas con el lado negro hacia arriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada persona, en su turno, hace una de las siguientes cosas:

• Retirar cualquier número de fichas, con la condición de que todas las fichas retiradas tengan el mismo color hacia arriba.
• Voltear cualquier número de fichas, con la condición de que todas las
  fichas tengan el mismo color hacia arriba.

Gana el que toma la última ficha. ¿Cuál jugador puede asegurar que ganará, el primero en jugar o el segundo?

Un plano en el espacio es equidistante a un conjunto de puntos si la distancia de cada punto al plano es la misma. ¿Cuál es el mayor número de planos equidistantes a 5 puntos de los cuales no hay 4 en un mismo plano?