Problemas

 Demostrar que, en cualquier triángulo, el punto simétrico del ortocentro respecto a un lado es un punto del circuncírculo.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto $A$. Se traza una recta tangente a $C_1$ en $B$ y secante a $C_2$ en $C$ y $D$; luego se prolonga el segmento $AB$ hasta intersecar a $C_2$ en un punto $E$. Sea $F$ el punto medio del arco $CD$ sobre $C_2$ que no contiene a $E$ y sea $H$ la intersección de $BF$ con $C_2$. Muestra que $CD,AF$ y $EH$ son concurrentes.

En cada casilla de un tablero $n\times n$hay un foco. Inicialmente todos los focos están apagados. En un paso, se permite cambiar el estado de todos los focos en una fila o de todos los focos en una columna (los focos prendidos se apagan y los focos apagados se prenden). Muestra que si después de cierta cantidad de pasos hay uno o más focos prendidos entonces en ese momento hay al menos n focos prendidos.

 En el triángulo acutángulo $ABC$, los puntos $D,E,F$, ubicados respectivamente en los lados $BC,CA,AB$, son tales que $$CD/CE=CA/CB$$ $$AE/AF=AB/AC$$ $$BF/BD=BC/BA$$ Demostrar que $AD,BE,CF$ son alturas.

 Los lados de un rectángulo tienen longitudes enteras, una de ellas es 8 unidades menos que otra, y la suma de tres de ellas es 55. Encontrar el perímetro. 

 El abuelo repartió 500 pesos entre sus 18 nietos de manera que cada niña recibió 2 pesos menos que cada niño. ¿Cuánto recibió cada quien en el reparto?

 En el triángulo $ABC$, el ángulo $BAC$ mide 60 grados. La bisectriz del ángulo $ABC$ corta al lado $AC$ en $X$ y la bisectriz del ángulo $BCA$ corta  al lado $AB$ en $Y$. Demuestra que si $I$ es el incentro del triángulo $ABC$, entonces $IX=IY$