Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Seccionado recursivo
Sofía tiene 5 pedazos de papel en una mesa. Toma algunos de los pedazos, corta cada uno en 5 pedacitos y los vuelve a poner en la mesa. Ella repite este procedimiento varias veces hasta que se cansa. ¿Podría Sofía llegar a tener 2010 pedazos al final en la mesa?
19 números en un tablero circular
En un tablero circular hay 19 casillas numeradas en orden del 1 al 19 (a la derecha del 1 está el 2, a la derecha de éste está el 3 y así sucesivamente, hasta el 1 que está a la derecha del 19). En cada casilla hay una ficha. Cada minuto cada ficha se mueve a su derecha el número de la casilla en que se encuentra en ese momento más una; por ejemplo, la ficha que está en el lugar 7 se va el primer minuto 7 + 1 lugares a su derecha hasta la casilla 15; el segundo minuto esa misma ficha se mueve a su derecha 15 + 1 lugares, hasta la casilla 12, etc. Determinar si en algún momento todas las fichas llegan al lugar donde empezaron y, si es así, decir cuántos minutos deben transcurrir.
¿Cómo se prueba paralelismo?
Combinatoria en el campamento
En un campamento de verano que va a durar n semanas se quiere dividir el tiempo en $3$ períodos de manera que cada período empiece en un lunes y termine un domingo. El primer período se dedicará a labores artísticas, el segundo será para deportes y en el tercero se hará un taller tecnológico. Durante cada período se escogerá un lunes para que un experto en el tema del período dé una plática. Sea $C(n)$ el número de formas en que puede hacerse el calendario de actividades.
¿Cómo se demuestra perpendicularidad?
En los lados $CA$ y $AB$ del triángulo equilátero $ABC$, se eligen respectivamente los puntos $D$ y $E$, de tal manera que $2BE=EA$ y $2AD=DC$. Si P es el punto de intersección de $CE$ y $BD$, demostrar que $AP$ es perpendicular a $CE$.
Triángulo conocido
Dos lados de un triángulo forman un ángulo de 60 grados, y uno mide el doble que el otro. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos? Justifica tu respuesta.
Función de un primo con 6 divisores
Encontrar todos los números primos $p$ para los cuales el número $p^2+11$ tiene exactamente 6 divisores positivos (el 1 y el número incluidos).
Soluciones enteras bajo condición de divisibilidad
Encontrar, con prueba, todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $ab^2+b+7$ divide a $a^2b+a+b$
Puntos en la base de un isósceles
En la base $BC$ del isósceles $ABC$ (con $AB=AC$) se eligen los puntos $M,N$ en el orden $B,M,N,C$. Demostrar que, si existe un punto $P$ tal que $MP=BM, PN=NC$ y $\angle{MPN}=2\angle{CBA}$ entonces $2\angle{MAN}+\angle{MPN}=180$
Puntos en la hipotenusa de un isósceles rectángulo
En la hipotenusa $BC$ del triángulo isósceles rectángulo $ABC$ se han elegido los puntos $M,N$ en el orden $B,M,N,C$, de tal manera que $BM^2+NC^2=MN^2$. Encontrar, con prueba, la medida del ángulo $\angle{MAN}$
Cuadrado perfecto de cuatro cifras
Sea $m$ un cuadrado perfecto de cuatro cifras menores que 9. Sumando una unidad a cada una de las cifras de $m$ se forma otro cuadrado perfecto. Encontrar $m$.
Medida de un ángulo: elemental pero...
Los ángulos en la base $BC$ del isósceles $ABC$ miden 40 grados. El lado $AB$ se prolonga hasta el punto $D$ de manera que $B$ quede entre $A$ y $D$ y $AD=BC$. ¿Cuánto mide el ángulo $BCD$?
Suma de potencias múltiplo de 7
Demostrar que para $n$ entero no negativo, la función $f(n)=4^{2^n}+2^{2^n}+1$ es múltiplo de 7.
Puntos medios, líneas medias e isósceles rectángulos
Sean $D,E$ puntos en el exterior del triángulo $ABC$ tales que los triángulos $ABD$ y $ACE$ son isósceles rectángulos en $D$ y $E$, respectivamente. Demostrar que si $F$ es punto medio de $BC$, entonces el triángulo $DEF$ es isósceles rectángulo en $F$
Circuncírculo de equilátero
Sea $M$ un punto en el arco $AB$ del circuncírculo del triángulo equilátero $ABC$. Demostrar que $AM+MB=MC$.
Triángulo dividible
En un triángulo isósceles $ABC$, con $AB=AC$ y ángulo en A de 20 grados, los puntos $D$ en $AC$ y $E$ en $AB$ son tales que $\angle{DBC}=60$ y $\angle{ECB}=50$. Encontrar, con prueba, la medida del $\angle{EDB}$
La factorización prima es única
Encontrar todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $2^x+1=y^2$
Coeficientes de una expresión cuártica
Calcular el valor de la expresión $(a_0+a_2+a_4)^2-(a_1+a_3)^2$, donde los $a_i$ son los coeficientes de la expansión de $(2x+\sqrt{3})^4$: $$(2x+\sqrt{3})^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$$
Desigualdad de Jensen
Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función punto medio convexa, es decir, que satisface que: $$f\left( \frac{x+y}{2} \right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} $$ para toda pareja de números reales $x,y \in \mathbb{R}$.
Demostrar que para cualesquiera números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ se satisface la siguiente desigualdad: $$f \left(\frac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \right) \leq \frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)}{n}.$$
No todos los triángulos son isósceles
Demostrar que, en un triángulo ABC, la bisectriz del ángulo A y la mediatriz del lado BC concurren en el circuncírculo de ABC.