Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Ensayos repetidos con un tetraedro
Los vértices de un tetraedro están etiquetados con los números del 1 al 4. Considere el siguiente experimento aleatorio: se lanza el tetraedro y se registra el número del vértice superior. Calcular la probabilidad de que al lanzar el tetraedro 5 veces, la suma de los números de los vértices superiores obtenidos en los lanzamientos sea 12.
Contabilidad escolar creativa
Los administradores han encontrado en las compras con sobreprecio un área de oportunidad para financiar su nivel de vida --gracias a su creatividad contable. Para equipar su escuela con tecnología educativa de punta, el director de la prepa No te la vas a acabar realizó dos compras de equipo multimedia el mes pasado, a sendos proveedores conocidos por su flexibilidad de facturación.
Después de ciertas negociaciones, al proveedor A le pagó solamente 2/5 del monto nominal sobrefacturado, y al proveedor B solamente 3/7 del monto nominal sobrefacturado. (Se entiende que los excedentes van directamente al bolsillo del director.)
El Morocho y el Parna reciclan cobre --a su manera
(En el mercado de chatarra, el cobre se cotiza aproximadamente a 15 pesos el kilo. Así que el cable --de la CFE, de Telmex, y de la TV privada-- es una tentación para los delincuentes, sean estos profesionales u ocasionales.) El Morocho y el Parna, dos adolescentes mariguanos y caguameros de la ciudad, han descubierto esa área de oportunidad para mantener su vicio. Una noche, cada uno por su cuenta, robaron cable de dos calibres distintos (según el calibre es el peso del metro). Entre ambos robaron 55 m. y cada uno recibió la misma cantidad de dinero al vender su producto al Jarocho al día siguiente. Si el Morocho hubiese robado los metros que robó el Parna habría recibido 360 pesos.
Locus con paralelogramos de lado fijo
Sea dado un segmento fijo $AB$ y considérense todos los paralelogramos $ABCD$ formados con el lado $AB$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ la proyección de $A$ sobre la recta $DM$. Determinar el lugar geométrico descrito por $P$ al mover el lado $CD$.
Parábola como locus
Encontrar el lugar geométrico de un punto $P$ que se mueve de tal manera que permanece equidistante de un punto fijo $F$ y una recta fija $d$.
Lugar geométrico del punto medio
En un triángulo $ABC$, los puntos $M$ en $CA$ y $N$ en $BC$ se mueven de tal manera que $AM=BN$. Describir el lugar geométrico del punto medio $P$ de $MN$.
Un problema de velocidades realmente difícil
Un tren de pasajeros parte de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas. Después de 6 horas de viaje, el tren se detiene durante 2 horas debido a la acumulación de nieve en la vía. Después de esas 2 horas, el tren prosigue su viaje hacia la estación $B$, pero ahora con una velocidad 20 porciento mayor que la que mantuvo antes (la velocidad normal). Aún así, llegó a la estación $B$ con una hora de retraso. Al día siguiente, otro tren sale de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas y también tuvo que parar durante 2 horas, pero en un punto alejado de $A$ 150 km más que donde paró el primer tren.
La mosca de von Neumann
Un joven colega de von Neumann le planteó a éste (en un cocktail party del MIT) el siguiente problema:
Velocidad de un tren
Un tren es obligado a detenerse 16 minutos más de lo programado en una estación. Para recuperar el tiempo perdido, en los siguientes 80 km viaja a una velocidad 10 km/h más rápido que lo normal. Calcular la velocidad normal del tren.
Número de 4 cifras con 3 condiciones
Encontrar todos los números de cuatro cifras tales que:
- la suma de los cuadrados de las cifras extremas es 13;
- la suma de los cuadrados de las cifras medias es 85;
- al restarle 1089 sus cifras se invierten (las unidades pasan a ser millares, etc.)
Variación inversa: elemental pero...
Para llenar la alberca se dispone de dos mangueras $A$ y $B$. Un día que la alberca estaba vacía, Claudia abrió la manguera $A$ y la dejó abierta la tercera parte del tiempo con que la $B$ llena la alberca. Cuando llegó Bernardo, ambos abrieron la manguera $B$ y la dejaron abierta la tercera parte del tiempo que tarda la manguera $A$ en llenarla. Con esta agua, equivalente a $13/18$ de la capacidad de la alberca, se metieron a ejercitar la natación. Calcular los tiempos con que se llena la alberca con cada una de las mangueras, si se sabe que entre ambas se llena en 3 horas y 36 minutos.
Sucesión de cuadrados perfectos
Demostrar que todos los números de la sucesión 49, 4489,444889,... son cuadrados perfectos.
Construir un triángulo
Construir un triángulo dados un lado, la altura de uno de los vértices del lado dado (respecto a uno de los otros dos), y el radio de la circunferencia circunscrita.
Mediana a la hipotenusa
Demostrar que, en un triángulo rectángulo, la mediana a la hipotenusa mide la mitad que ésta.
Vértices y ortocentro de un equilátero
Dadas las coordenadas $A=(-\sqrt{3},2), B=(3\sqrt{3},2)$ de dos vértices de un triángulo equilátero $ABC$, y las de su ortocentro $H=(\sqrt{3},0)$, encontrar ls coordenadas del vértice $C$.
Ecuación de la tangente a una circunferencia
Demostrar que la tangente a la circunferencia $x^2+y^2=r$ en el punto $P=(x_1,y_1)$ está dada por la ecuación $xx_1+yy_1=r$
El promedio es el centro
El promedio de dos números reales está exactamente a la mitad del camino entre ellos. Demostrarlo.
La reina ha muerto. ¡Viva la reina!
(Una Gaga (g) en rápido crecimiento, y rompiendo con todos los clichés, ha destronado en 2010 a Madonna (m) --una ex-reyna del pop ya en lento decaimiento.) Dentro de 4 años m tendrá el doble de la edad de g y la diferencia de sus edades es múltiplo de 7. Calcular éstas si se sabe además que g es mayor de edad y m todavía no es adulto en plenitud.
Fan de Lady Gaga
Camila, la princesa de la prepa, se reunió con tres de sus amigas y les regaló copias en CD del album más premiado del año (The Fame Monster, edición de lujo). A la primera le obsequió la mitad de las que traía en su mochila más dos, a la segunda la mitad de los que le quedaban más dos, y a la tercera la mitad de los que le quedaban más dos. Después del reparto le quedó una copia para ella. ¿Cuántas copias de The Fame Monster traía Camila en su mochila?
Línea de Euler
Demuestra que, para un triángulo no equilátero, el circuncentro, el gravicentro y el ortocentro están sobre una misma recta.