Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Cevianas por el circuncentro

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 13:12.

 Dado un triángulo $ABC$, considere los puntos $D, E, F$ en las rectas $BC, AC, AB$, respectivamente. Si las rectas $AD, BE, CF$ pasan todas por el centro $O$ del circuncírculo de $ABC$, cuyo radio es $r$, demostrar que
$$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CE}=\frac{2}{r}$$

Problema

Un ejercicio en álgebra

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 12:10.

 Demostrar que si $x\neq1, y\neq1, x\neq{y}$ y $$ \frac{yz-x^2}{1-x}=\frac{zx-y^2}{1-y}$$
entonces ambas fracciones son iguales a $x + y + z$.

Problema

Vieta y la desigualdad de las medias

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 12:01.

 Halle las raíces $r_1, r_2, r_3, r_4$ de la ecuación:
$$4x^4 – ax^3 + bx^2 – cx + 5 = 0$$
Sabiendo que son reales positivos, y que
$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1$$

Problema

Punto en el interior de un equilátero

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 11:53.

 Sea $P$ un punto interior al triángulo equilátero $ABC$ tal que:
$$PA = 5, PB = 7, PC = 8$$
Encontrar la longitud del lado del triángulo ABC.

Problema

Vieta y los polinomios simétricos

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 11:48.

 Encontrar todas las ternas de enteros $(a, b, c)$ tales que:
$$a + b + c=24$$
$$a^2 + b^2 + c^2=210$$
$$abc=440$$

Problema

IMO 2007 (PROBLEMA 6)

Enviado por cuauhtemoc el 1 de Diciembre de 2011 - 18:14.

Sea un entero positivo.  Se considera

Problema

Divisores primos de polinomios

Enviado por coquitao el 29 de Noviembre de 2011 - 00:48.

Sea $f(X)$ un polinomio de coeficientes enteros y $p$ un número primo. Decimos que $p$ es un divisor primo de $f(X)$ si existe $n \in \mathbb{Z}$ tal que $p | f(n)$.

Demuestre que todo polinomio no constante de coeficientes enteros tiene un número infinito de divisores primos.

Problema

Triangulos de area 1 en una reticula de 4x4!!!

Enviado por cuauhtemoc el 28 de Noviembre de 2011 - 18:55.

La siguiente reticula de 4x4 esta formada por cuadritos de lado igual a 1; se quiere dibujar un triangulo de area 1 de tal forma que sus vertices sean puntos de la reticula ¿cuantas formas hay de hacer esto?

Problema

CONGRESO INTERNACIONAL DE CIENTIFICOS!!!

Enviado por cuauhtemoc el 25 de Noviembre de 2011 - 19:22.

En un congreso internacional se reunene n cientificos de 6 paises.Durante el congreso los cientificos se dividen en 4 secciones de tal manera que dentro de cualquier grupo de 6 participantes de la misma seccion siempre hay dos cientificos de la misma edad. Encuentra el minimo numero n para el cual, bajo las condiciones mencionadas arriba, se pueda asegurar que existen 3 cientificos de una misma seccion que tienen la misma edad y pertenecen el mismo pais.

Problema

ayuda con este problema

Enviado por scorpions_109 el 18 de Noviembre de 2011 - 17:26.

 Felipe depositó $ 1.800.000 en un banco a una tasa de interés del 1,3% mensual. Al cabo de tres años, ¿cuál es la cantidad de dinero que tiene depositada Felipe?

Problema

XI ONMAS!

Enviado por cuauhtemoc el 15 de Noviembre de 2011 - 18:16.

Sea ABCDEF un hexagono con todos sus lados de longitud 1 y con los angulos ABC y EFA de 90°. ¿ cuanto debe medir el angulo BCD de manera que el area del hexagono sea la mayor posible ?

Problema

Numeros en el cubo

Enviado por cuauhtemoc el 12 de Noviembre de 2011 - 19:58.

En cada una de las caras de un cubo, se escribe un numero entero positivo, y en cada vértice se escribe el producto de los números de las 3 caras adyacentes a ese vértice. Si la suma de los números en los vértices es 105.  ¿Cuánto vale la suma de los números en todas las caras?

Problema

Mesas circulares!

Enviado por cuauhtemoc el 12 de Noviembre de 2011 - 19:45.

Hay 3 equipos, cada uno de ellos con 3 personas. Se quieren  sentar alrededor de una mesa redonda con sillas numeradas del 1 al 9. ¿De cuantas formas se pueden sentar las 9 personas en las sillas, de tal manera que cualesquiera dos personas consecutivas del mismo equipo esten separados entre si por la misma cantidad de sillas?

Problema

Numeros enteros positivos

Enviado por cuauhtemoc el 12 de Noviembre de 2011 - 19:41.

Demuestre que sin importar que numeros enteros naturales sean $m$ y $n$, el numero  $mn ( m + n ) ( m - n )$ es divisible por 3.

Problema

11 ONMAS Guerrero

Enviado por cuauhtemoc el 12 de Noviembre de 2011 - 19:33.

ABCD es un cuadrado, el punto E esta en el lado BC. BD y AE se intersectan en el punto F. Con centro en el punto F y radio FA se traza una circunferencia que intersecta al lado CD en el punto G. Calcula el valor del angulo GFE y demuestra que el triangulo GFC  es isisceles.

Problema

Problema de la X ONMAS

Enviado por cuauhtemoc el 12 de Noviembre de 2011 - 19:28.

Utilizando los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 se quieren armar conjuntos que tengan dos o mas de esos números, sin repetición, de modo que si se multiplican todos los números del conjunto, el resultado que se obtiene es múltiplo de 4 pero no es múltiplo de 8.

¿Cuántos de estos conjuntos se pueden armar ?

Problema

Homotecia: de baricentros a puntos de Varignon

Enviado por jmd el 1 de Septiembre de 2011 - 19:00.

Las diagonales de un cuadrilátero convexo dividen a éste en cuatro triángulos. Demostrar que sus baricentros forman un paralelogramo.

Problema

Problema 3 (IMO 2011)

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2011 - 11:25.

Sea $f$ una función del conjunto de los números reales en sí mismo que satisface $$f(x + y)\leq yf(x) + f(f(x))$$ para todo par de números reales $x, y$. Demostrar que $f(x) = 0$ para todo $x\leq0$.

Problema

Problema 2 (IMO 2011)

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2011 - 11:23.

Sea $S$ un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En $S$ no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta $l$ que pasa por un único punto $P$ de $S$. Se rota $l$ en el sentido de las manecillas del reloj con centro en $P$ hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de $S$ al cual llamaremos $Q$. Con $Q$ como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de $S$. Este proceso continúa indefinidamente.

Problema

Problema 1(IMO 2011)

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2011 - 11:21.

Para cualquier conjunto  de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma  con