Problemas - Teoría de números
Magia con matemáticas
Sea $ K $ un entero positivo de $ n $ cifras y $ S $ la suma de todas las cifras de $ K $. Demuestra que $ K $ menos $ S $ es múltiplo de 9 para todo $ n $, con $ n $ mayor o igual a 2.
Un acertijo de Lewis Carroll
Varios escuelantes se sientan formando un círculo de manera que cada uno tiene dos vecinos, y quedan en un orden tal que el primero tiene un dollar más que el segundo y éste tiene un dollar más que el tercero, etc.
Incentivo paternal
El padre quiere que su hija sea campeona en matemáticas de concurso. Le dice:"Por cada problema que resuelvas te daré 70 pesos y por cada uno que no resuelvas me darás 50 pesos." Después de intentar los n problemas de la lista que su papá le dio, la niña ha ganado 550 pesos. ¿Cuáles son los posibles valores de n?
Múltiplos de 11
Encontrar todos los números de tres cifras múltiplos de 11 , y tales que la suma de sus dígitos es 10, y la diferencia entre el número y el que resulta al invertir sus dígitos es 297.
Números en espiral
Considera la sucesión $\{1,3,13,31,\ldots\}$ que se obtiene al seguir en diagonal el siguiente arreglo de números en espiral.
Encuentra el número en la posición 100 de esa sucesión.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 2)
Para cada entero positivo $ n $ se define $a_n = n+m$, donde $ m $ es el mayor entero tal que $2^{2^m}\leq n2^n$. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión $a_n$.
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2008)
Demuestra que no existen enteros positivos $x,y$ tales que $x^{2008}+2008!=21^y$
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2004)
Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a,b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a+b$ y $201a+b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Olimpiada Iberoamericana (el 5 de 1985)
A cada número natural n se le asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfacen las siguientes condiciones:
- (i) $f(rs)=f(r)+f(s)$
- (ii) $f(n)=0$, si el dígito de las unidades de n es 3
- (iii) $f(10)=0$
Hallar $f(1985)$