Problemas - Teoría de números

Problema

Triplos

Enviado por jmd el 24 de Febrero de 2010 - 08:30.

Sea n un número entero positivo de 5 cifras. Demostrar que si n se escribe con exactamente los mismos dígitos que su triplo entonces n es múltiplo de 9. (Ejemplo: el triplo de 12375 es 37125, y 12375=9x1375.)


 

Problema

Un acertijo de Lewis Carroll

Enviado por jmd el 17 de Enero de 2010 - 21:46.

Varios escuelantes se sientan formando un círculo de manera que cada uno tiene dos vecinos,  y quedan en un orden tal que el primero tiene un dollar más que el segundo y éste tiene un dollar más que el tercero, etc.

Problema

Incentivo paternal

Enviado por jmd el 4 de Diciembre de 2009 - 11:58.

El padre quiere que su hija sea campeona en matemáticas de concurso. Le dice:"Por cada problema que resuelvas te daré 70 pesos y por cada uno que no resuelvas me darás 50 pesos." Después de intentar los n problemas de la lista que su papá le dio, la niña ha ganado 550 pesos. ¿Cuáles son los posibles valores de n?

Problema

Múltiplos de 11

Enviado por jmd el 1 de Diciembre de 2009 - 11:18.


Encontrar todos los números de tres cifras múltiplos de 11 , y tales que la suma de sus dígitos es 10, y la diferencia entre el número y el que resulta al invertir sus dígitos es 297.

Problema

Números en espiral

Enviado por jmd el 3 de Octubre de 2009 - 07:24.

Considera la sucesión $\{1,3,13,31,\ldots\}$ que se obtiene al seguir en diagonal el siguiente arreglo de números en espiral.

Encuentra el número en la posición 100 de esa sucesión.

Problema

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 2)

Enviado por jmd el 22 de Septiembre de 2009 - 14:02.

Para cada entero positivo $ n $ se define $a_n = n+m$, donde $ m $ es el mayor entero tal que $2^{2^m}\leq n2^n$. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión $a_n$.
 

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2008)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 09:08.

Demuestra que no existen enteros positivos $x,y$ tales que $x^{2008}+2008!=21^y$

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2004)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 06:53.

Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a,b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a+b$ y $201a+b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 5 de 1985)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 06:43.

A cada número natural n se le asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfacen las siguientes condiciones:

  • (i) $f(rs)=f(r)+f(s)$
  • (ii) $f(n)=0$, si el dígito de las unidades de n es 3
  • (iii) $f(10)=0$

 

Hallar $f(1985)$

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 1 de 1999)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 06:31.

Halla todos los enteros positivos que son menores que 1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.