Problemas - Álgebra

Problema

P6 OMM 1997. Un quinto más suma de fracciones

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 11:37.

Pruebe que el número 1 se puede escribir de una infinidad de maneras distintas en la forma $$1 = \frac{1}{5} + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}$$ donde $ n $ y $a_1, a_2, \ldots , a_n$ son enteros positivos y $5 <a_1< a_2 <\ldots <a_n$

 

Problema

P5 OMM 1996. Recorre los cuadros y suma sus números

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 10:36.

En una cuadrícula de $n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en el orden habitual (de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Como ejemplo se ilustra el caso $n = 3$: $$1 ~2 ~3$$ $$4 ~5 ~6$$ $$7 ~8 ~9$$

Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de un cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el $n^2$, de tal manera que en cada paso el movimiento sea hacia la derecha o hacia abajo. Si $C$ es un camino, denotamos por $L(C)$ a la suma de los números por los que pasa el camino $C$.

Problema

P4 OMM 1995. Con 26 sí, con 27 no

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 14:25.

a) Encuentra un subconjunto $B$ del conjunto $A = \{1, 2, 3, \ldots, 40\}$, de manera que $B$ tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de $B$ sea un cuadrado perfecto.
b) Demuestra que no se puede obtener un subconjunto de $A$ de 27 elementos con la característica mencionada en el inciso anterior.

Problema

P2 OMM 1994. Desorden en los números del reloj

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 13:32.

Los doce números de un reloj se desprendieron y al colocarlos nuevamente,
se cometieron algunos errores. Demuestre que en la nueva colocación hay
un número que al sumarle los dos números que quedaron a sus lados se
obtiene un resultado mayor o igual a 21.
 

Problema

P1 OMM 1994. Sucesión con regla singular de formación

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 13:29.

La colección infinita de números $1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, \ldots$ se ha
formado de la siguiente manera: Se coloca primero el primer impar $(1)$,
luego los siguientes dos pares $(2, 4)$, después los siguientes tres impares
$(5, 7, 9)$, luego los cuatro pares siguientes al último impar que se colocó
y así sucesivamente. Encuentra el término de la secuencia más cercano a
1994.

Problema

P4. OMM 1993. Recurrencia en dos variables

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 17:05.

Para cualquier número entero $n>0$, se define:
1. $f(n, 0) = 1$ y $f(n, n) = 1$
2. $f(n, k) = f(n - 1, k - 1) + f(n - 1, k)$ para $0<k<n$.
¿Cuántos cálculos se tienen que hacer para encontrar el valor de $f(3991, 1993)$,
sin contar aquellos de la forma $f(n, 0)$ y $f(n, n)$?

Problema

P2. OMM 1993. La suma de los cubos de sus 3 cifras...

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 17:01.

Encuentre los números de tres cifras tales que la suma de los cubos de éstas es igual al número.

Problema

P5 OMM 1992. Desigualdad con suma de radicales

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 11:02.

Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x + y + z = 3$. Si
$$S = \sqrt{2x + 3} + \sqrt{2y + 3} + \sqrt{2z + 3},$$
pruebe que $6 < S \leq 3\sqrt{5}$

Problema

P5 OMM 1991. Suma de cuadrados cuadrado

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:21.

La suma de los cuadrados de dos números consecutivos puede ser un cuadrado perfecto (por ejemplo $3^2 + 4^2 = 5^2$).
a) Pruebe que la suma de los cuadrados de $m$ enteros consecutivos no puede
ser un cuadrado para $m$ igual a 3 y 6.
b) Encuentre un ejemplo de 11 números consecutivos cuya suma de cuadrados sea un cuadrado perfecto.

Problema

P1 OMM 1991. Fracciones con denominador 1991

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:02.

Calcule la suma de todas las fracciones positivas irreducibles (simplificadas)
menores que uno y con denominador es 1991.