Problemas - Teoría de números
P2. OMM 1987. Divisores de 20 factorial
¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! ? (20! = 1×2×3×· · ·×19×20).
Múltiplo de 1001
Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001.
Diofantina de primos
Encontrar todos los primos $p,q$ que cumplen la ecuación $p+q^2=q+145p^2$
Operan al primo... ¿resultó cuadrado? ¡perfecto!
Encontrar todos los primos $p$ tales que $5^p+4p^4$ es cuadrado perfecto.
Residuo de una suma
El número $10^{10}+10^{10^2}+\ldots+10^{10^{10}}$ se divide entre 7. ¿Cuál es el residuo?
Problema cuadrático
Sean $x,y$ enteros para los cuales existen enteros consecutivos $c$ y $d$ tales que $x-y=x^2c-y^2d$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.
¿Cuadrado perfecto? ¡Manipulación algebraica!
Sean $x,y$ enteros positivos tales que $3x^2+x=4y^2+y$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.
Divisores de 6n
Sea $ n $ un entero positivo. Si $2n$ tiene 30 divisores positivos y $3n$ tiene 32 ¿Cuántos divisores tiene $6n$?
¿Qué es lo que no se puede hacer con los primos?
Encontrar todos los valores enteros positivos $ n $ para los cuales $f(n)=n^2-3n+2$ es un número primo. Justifica tu respuesta.
Problema 5 (Ciudades, OMM_Tam_2010)
Con los dígitos $1, 2, \ldots, 9$ ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar, con la condición de que la suma de sus cifras sea par?