Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P1 OMM 1999. Estrategia ganadora con fichas rojinegras
Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuántas con el lado rojo hacia arriba ni cuántas con el lado negro hacia arriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada persona, en su turno, hace una de las siguientes cosas:
- Retirar cualquier número de fichas, con la condición de que todas las fichas retiradas tengan el mismo color hacia arriba.
- Voltear cualquier número de fichas, con la condición de que todas las
fichas tengan el mismo color hacia arriba.
Gana el que toma la última ficha. ¿Cuál jugador puede asegurar que ganará, el primero en jugar o el segundo?
¿Pies alineados? Bueno... ¿de dónde vienen?
Sean $ABC$ un triángulo, $\gamma$ su circunferencia circunscrita (circuncírculo), y $P$ un punto sobre $\gamma$. Demostrar que los pies de las perpendiculares bajadas desde $P$ a los lados del triángulo (o su prolongación) son colineales.
P6 OMM 1998. Planos equidistantes a 5 puntos
Un plano en el espacio es equidistante a un conjunto de puntos si la distancia de cada punto al plano es la misma. ¿Cuál es el mayor número de planos equidistantes a 5 puntos de los cuales no hay 4 en un mismo plano?
P5 OMM 1998. Paralela si y sólo si... ¿Tales?
Sean $B$ y $C$ dos puntos de una circunferencia, y $AB$ y $AC$ las tangentes
desde un punto $A$. Sea $Q$ un punto del segmento $AC$ y $P$ la intersección de $BQ$ con la circunferencia. La paralela a $AB$ por $Q$ corta a $BC$ en $J$. Demuestre que $PJ$ es paralelo a $AC$ si y sólo si $BC^2 = AC \cdot QC$.
P4 OMM 1998. Sumas de dígitos inversos (\times un dígito)
Encuentre todos los enteros que se escriben como $$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\ldots+\frac{9}{a_9}$$ donde $a_1, a_2, \ldots , a_9$ son dígitos distintos de cero que pueden repetir.
P3 OMM 1998. Octágono rojinegro
Cada uno de los lados y las diagonales de un octágono regular se pintan de rojo o de negro. Demuestre que hay al menos siete triángulos cuyos vértices son vértices del octágono y sus tres lados son del mismo color.
P2 OMM 1998. Rayos, ángulo, bisectriz, lugar geométrico...
Dos rayos $l,m$ parten de un mismo punto formando un ángulo $A$, y $P$ es un punto en $l$. Para cada circunferencia $C$, tangente a $l$ en $P$, que corte a $m$ en puntos $Q$ y $R$, $T$ es el punto donde la bisectriz del ángulo $QPR$ corta a $C$. Describe la figura geométrica que forman los puntos $T$. Justifica tu respuesta.
P1 OMM 1998. Números suertudos
Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que $1900 \rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1$. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.
P6 OMM 1997. Un quinto más suma de fracciones
Pruebe que el número 1 se puede escribir de una infinidad de maneras distintas en la forma $$1 = \frac{1}{5} + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}$$ donde $ n $ y $a_1, a_2, \ldots , a_n$ son enteros positivos y $5 <a_1< a_2 <\ldots <a_n$
P5 OMM 1997. Triángulo formado por cevianas
Sean $P, Q, R$ puntos sobre los lados de un triángulo $ABC$ con $P$ en el segmento $BC$, $Q$ en el segmento $AC$ y $R$ en el segmento $BA$, de tal manera que si $A'$ es la intersección de $BQ$ con $CR$, $B'$ es la intersección de $AP$ con $CR$, y $C'$ es la intersección de $AP$ con $BQ$, entonces $AB' = B'C',BC' = C'A'$, y $CA' = A'B'$. Calcule el cociente del área del triángulo $PQR$ entre el área del triángulo $ABC$.
P4 OMM 1997. Planos determinados por seis puntos
Dados 3 puntos no alineados en el espacio, al único plano que los contiene le llamamos plano determinado por los puntos. ¿Cuál es el mínimo número de planos determinados por 6 puntos en el espacio si no hay 3 alineados y no están los 6 en un mismo plano?
P3 OMM 1997. Dieciseis vecinos en una cuadrícula
En una cuadrícula de 4 × 4 se van a colocar los números enteros del 1 al
16 (uno en cada casilla).
- (a) Pruebe que es posible colocarlos de manera que los números que aparecen en cuadros que comparten un lado tengan una diferencia menor o igual a 4.
- (b) Pruebe que no es posible colocarlos de tal manera que los números que aparecen en cuadros que comparten un lado tengan diferencia menor o igual a 3.
P2 OMM 1997. Alineados con centroide... ¿Menelao?
En un triángulo $ABC$, sean $P$ y $P'$ puntos sobre el segmento $BC$, $Q$ en $CA$ y $R$ sobre $AB$, de forma que $$\frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{CP'}{P'B}$$
Sean $G$ el centroide del triángulo $ABC$ y $K$ el punto de intersección de las rectas $AP'$ y $RQ$. Demuestre que los puntos $P, G, K$ son colineales.
P1 OMM 1997. Primo función de un primo
Encuentre todos los números primos positivos $p$ tales que $8p^4 - 3003$ también es un primo positivo.
P6 OMM 1996. Perpendiculares que miden el lado que cortan
En la figura se muestra un triángulo acutángulo $ABC$ en el que la longitud de $AB$ es menor que la de $BC$ y la de $BC$ es menor que la de $AC$ . Los puntos $A', B'$ y $C'$ son tales que $AA'$ es perpendicular a $BC$, y la longitud
de $AA'$ es igual a la de $BC$; $BB'$ es perpendicular a $AC$ y la longitud de $BB'$ es igual a la de $AC$; $CC'$ es perpendicular a $AB$ y la longitud de $CC'$ es igual a la de $AB$. Además el ángulo $AC'B$ es de 90 grados. Demuestra que $A', B'$ y $C'$ son colineales.
P5 OMM 1996. Recorre los cuadros y suma sus números
En una cuadrícula de $n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en el orden habitual (de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Como ejemplo se ilustra el caso $n = 3$: $$1 ~2 ~3$$ $$4 ~5 ~6$$ $$7 ~8 ~9$$
Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de un cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el $n^2$, de tal manera que en cada paso el movimiento sea hacia la derecha o hacia abajo. Si $C$ es un camino, denotamos por $L(C)$ a la suma de los números por los que pasa el camino $C$.
P4 OMM 1996. Ocho distintos múltiplos de n
¿Para qué enteros $n \geq 2$ se pueden acomodar los números del 1 al 16 en los cuadros de una cuadrícula de $4×4$ (un número en cada cuadro, sin repetir números) de tal manera que las 8 sumas de los números que quedan en cada fila y en cada columna sean múltiplos de $n$, y que estos 8 múltiplos sean todos distintos entre sí?
P3 OMM 1996. Cubrir cuadrícula con dominós con una condición
Demuestra que no es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 6 cm con 28 rectángulos de 2cm × 1cm, de tal manera que cada una de las rectas de longitud 6cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por uno de los rectángulos. Demuestra también que sí es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 5cm con 15 rectángulos de 2cm × 1cm de tal manera que cada una de las rectas de 5cm o 6 cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por el centro de por lo menos uno de los rectángulos.
P2 OMM 1996. La ficha 1 te prende el foco
Bordeando una mesa circular hay dibujadas 64 casillas y en cada una hay una ficha. Las fichas y las casillas están numeradas del 1 al 64 en orden consecutivo (cada ficha está en la casilla del mismo número). En la parte central de la mesa hay 1996 focos apagados. Cada minuto todas las fichas se desplazan simultáneamente, en forma circular (en el mismo sentido de la numeración), como sigue: la ficha #1 se desplaza una casilla, la ficha #2 se desplaza dos casillas, la ficha #3 se desplaza 3 casillas, etcétera, pudiendo varias casillas ocupar la misma posición.
P1 OMM 1996. Cuadrilátero con diagonal trisecada
Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sean $P$ y $Q$ los puntos de trisección de la diagonal $BD$ (es decir, $P$ y $Q$ son puntos del segmento $BD$ para los cuales las longitudes $BP, PQ$ y $QD$ son todas iguales). Sean $E$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $P$ con el segmento $BC$, y $F$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $Q$ con el segmento $DC$. Demuestra lo siguiente:
1. Si $ABCD$ es un paralelogramo, entonces $E$ y $F$ son los respectivos puntos medios de los segmentos $BC$ y $CD$.
2. Si $E$ y $F$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente, entonces $ABCD$ es un paralelogramo.