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Problema

P1 OMM 2002. Operaciones sobre cuadrícula 32X32

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 06:42.

 En una cuadrícula de 32×32 se escriben los números del 1 al 1024 de izquierda a derecha: los números del 1 al 32 en el primer renglón, los del 33 al 64 en el segundo, etc. La cuadrícula se divide en cuatro cuadrículas de 16×16 que se cambian de lugar entre ellas como sigue:

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Clasificación de ángulos

Enviado por jmd el 23 de Julio de 2010 - 09:32.

Parecería que de ángulos hay muy poco que decir. Son los objetos geométricos que se miden con un transportador ¿cierto? Cierto, pero hay toda una terminología escolar que el aprendiz debería aprender.

En lo que sigue voy a hablar primero de una clasificación de los ángulos, y en la segunda parte voy plantear la clasificación de las relaciones entre dos ángulos. En cada una de esas clasificaciones se presenta primero un mapa conceptual y después se hace el mismo planteamiento pero de manera discursiva.

Problema

Problema 6, IMO 2010

Enviado por jesus el 21 de Julio de 2010 - 09:28.

Sea a1,a2,a3, una sucesión de números reales positivos. Se tiene que para algún entero positivo s,
an=max{ak+ank tal que 1kn1}
para todo n>s. Demuestre que existen enteros positivos y N, con s, tales que an=a+an para todo nN.

Problema

Problema 3, IMO 2010

Enviado por jesus el 19 de Julio de 2010 - 19:44.

Sea N el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones g:NN tales que (g(m)+n)(m+g(n))
es un cuadrado perfecto para todo m,nN.

Problema

Problema 5, IMO 2010

Enviado por jesus el 18 de Julio de 2010 - 20:58.

En cada una de las seis cajas B1,B2,B3,B4,B5,B6 hay inicialmente sólo una moneda. Se permiten dos tipos de operaciones:

  • Tipo 1: Elegir una caja no vacía Bj , con 1j5. Retirar una moneda de Bj y añadir dos monedas a Bj+1.
  • Tipo 2: Elegir una caja no vacía Bk, con 1k4. Retirar una moneda de Bk e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) Bk+1 y Bk+2.

Determine si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas B1,B2,B3,B4,B5 vacías y a la caja B6 con exactamente 201020102010 monedas. (Observe que abc=a(bc).)

Problema

Problema 2, IMO 2010

Enviado por jesus el 18 de Julio de 2010 - 17:59.

Sea ABC un triángulo, I su incentro y Γ su circunferencia circunscrita. La recta AI corta de nuevo a Γ en D. Sean E un punto en el arco ^BDC y F un punto en el lado BC tales que
BAF=CAE<12BAC.
Sea G el punto medio del segmento IF. Demuestre que las rectas DG y EI se cortan sobre Γ.

Problema

Problema 4, IMO 2010

Enviado por jmd el 18 de Julio de 2010 - 16:25.

Sea P un punto en el interior del triángulo ABC con circunferencia circunscrita Γ. Las rectas AP,BP,CP cortan otra vez a Γ en los puntos K,L,M, respectivamente. La recta tangente a Γ en C corta a la recta AB en S. Demostrar que si SC=SP entonces MK=ML.

Problema

Problema 1, IMO 2010

Enviado por jesus el 18 de Julio de 2010 - 13:13.

Determine todas las funciones f:RR tales que f(xy)=f(x)f(y) para todos los números x,yR. (z denota el mayor entero que es menor o igual que z.)

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Sentido de la estructura geométrica

Enviado por jmd el 18 de Julio de 2010 - 10:49.

En este post voy a comentar la solución del problema 4 de la IMO 2010 (posiblemente el único de los 6 de este concurso que solamente requiere conocimientos elementales).

Problema

Chicas Fresa en Palacio

Enviado por jmd el 16 de Julio de 2010 - 07:57.

Las chicas fresa andan en Palacio de Hierro (sólo les faltan los lentes para irse de vacaciones a Los Cabos):

K: "¿Ya vieron? ¡Qué looser! ¡Son piratas! Nada que ver conmigo, yo quiero unos Carrera, Champion como los de Lady Gaga". 

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