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P1 OMM 2002. Operaciones sobre cuadrícula 32X32
En una cuadrícula de 32×32 se escriben los números del 1 al 1024 de izquierda a derecha: los números del 1 al 32 en el primer renglón, los del 33 al 64 en el segundo, etc. La cuadrícula se divide en cuatro cuadrículas de 16×16 que se cambian de lugar entre ellas como sigue:
Clasificación de ángulos
Parecería que de ángulos hay muy poco que decir. Son los objetos geométricos que se miden con un transportador ¿cierto? Cierto, pero hay toda una terminología escolar que el aprendiz debería aprender.
En lo que sigue voy a hablar primero de una clasificación de los ángulos, y en la segunda parte voy plantear la clasificación de las relaciones entre dos ángulos. En cada una de esas clasificaciones se presenta primero un mapa conceptual y después se hace el mismo planteamiento pero de manera discursiva.

Problema 6, IMO 2010
Sea a1,a2,a3,… una sucesión de números reales positivos. Se tiene que para algún entero positivo s,
an=max{ak+an−k tal que 1≤k≤n−1}
para todo n>s. Demuestre que existen enteros positivos ℓ y N, con ℓ≤s, tales que an=aℓ+an−ℓ para todo n≥N.
Problema 3, IMO 2010
Sea N el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones g:N→N tales que (g(m)+n)(m+g(n))
es un cuadrado perfecto para todo m,n∈N.
Problema 5, IMO 2010
En cada una de las seis cajas B1,B2,B3,B4,B5,B6 hay inicialmente sólo una moneda. Se permiten dos tipos de operaciones:
- Tipo 1: Elegir una caja no vacía Bj , con 1≤j≤5. Retirar una moneda de Bj y añadir dos monedas a Bj+1.
- Tipo 2: Elegir una caja no vacía Bk, con 1≤k≤4. Retirar una moneda de Bk e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) Bk+1 y Bk+2.
Determine si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas B1,B2,B3,B4,B5 vacías y a la caja B6 con exactamente 201020102010 monedas. (Observe que abc=a(bc).)
Problema 2, IMO 2010
Sea ABC un triángulo, I su incentro y Γ su circunferencia circunscrita. La recta AI corta de nuevo a Γ en D. Sean E un punto en el arco ^BDC y F un punto en el lado BC tales que
∠BAF=∠CAE<12∠BAC.
Sea G el punto medio del segmento IF. Demuestre que las rectas DG y EI se cortan sobre Γ.
Problema 4, IMO 2010
Sea P un punto en el interior del triángulo ABC con circunferencia circunscrita Γ. Las rectas AP,BP,CP cortan otra vez a Γ en los puntos K,L,M, respectivamente. La recta tangente a Γ en C corta a la recta AB en S. Demostrar que si SC=SP entonces MK=ML.
Problema 1, IMO 2010
Determine todas las funciones f:R→R tales que f(⌊x⌋y)=f(x)⌊f(y)⌋ para todos los números x,y∈R. (⌊z⌋ denota el mayor entero que es menor o igual que z.)
Sentido de la estructura geométrica

Chicas Fresa en Palacio
Las chicas fresa andan en Palacio de Hierro (sólo les faltan los lentes para irse de vacaciones a Los Cabos):
K: "¿Ya vieron? ¡Qué looser! ¡Son piratas! Nada que ver conmigo, yo quiero unos Carrera, Champion como los de Lady Gaga".

