Problemas

Sobre el lado $AB$ del cuadrado $ABCD$, se traza un triángulo equilátero externo $ABE$. Calcular la medida del ángulo $AED.$
 

Demostrar que si $k,n$ son enteros positivos sin divisores en común ($k,n$ primos relativos), entonces el máximo entero positivo que no se puede expresar como suma de múltiplos de $k$ y $n$ es $kn-k-n.$

Si $p^2+1/p^2=7$, con $p$ entero positivo, encontrar el valor de $p+1/p.$

Si $a, b$ son dígitos (elementos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$), encontrar el número de fracciones $a/b$ menores que 1.

En un círculo de centro $O$ y radio $5k$, se traza un cuadrado. Uno de sus lados es cuerda de la circunferencia y el lado opuesto a la cuerda pasa por el centro $O$. Calcular la longitud del lado del cuadrado en términos de $k$.
 

Sean H,O el ortocentro y circuncentro del triangulo ABC con AB distinto de AC. Sea T la circunferencia circunscrita al triangulo ABC. La prolongacion de la mediana AM del triangulo ABC, corta a T en el punto N y la circunferencia de diametro AM corta a T en los puntos A y P. Demuestra que las rectas AP, BC y OH son concurrentes si y solo si AH=NH

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $AB$  menor que $AC$. Sean $D,E,F$  los puntos de tangencia del incírculo con los lados $BC,CA, AB$, respectivamente. Sean $H$  la intersección de $BI$ con $EF$, y $G$ la intersección de $CI$ con $EF.$ 

a) Demostrar que $I$ es el incentro del triángulo $DGH.$

b) Demostrar que las rectas $BG$ y $CH$ concurren sobre la perpendicular a $BC$ que pasa por $D.$

En un triangulo $ABC$ donde $AD$ es la altura ($D$ sobre $BC$)sea $P$ cualquier punto sobre $AD$, Y sean $E,F$las intercecciones de $BP,CP$ con $AC,AB$ respectivamente. Entonces se cumple que $AD$ es la bisectriz del angulo $EDF$

Demostrar que en veinte números naturales hay al menos dos cuya diferencia es un múltiplo de 19.