Problemas

Encontrar un número entero positivo que al multiplicarlo por $2^{145}$ y al resultado restarle 1, se obtenga un múltiplo de 151.

Encontrar el residuo que deja $2009^{2008}$ al dividirlo entre $9$

Sea ABCD un cuadrilatero tal que los angulos internos en los vertices A, B, y C son de cuarenta y cinco grados. Demostrar que los puntos medios de los lados del cuadrilatero determinan un cuadrado.

Propuesto por: Fernando

Considere $\mu$ un segmento paralelo a las bases $a$ y $b$ de un trapecio, de tal manera que $\mu$ pasa por el punto de intersección de las diagonales y sus extremos están sobre los lados del trapecio. Demostrar que $\mu$ es la media armónica de $a$ y $b$, es decir: \mu = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

Sean $a, b, c$ tres números enteros positivos tales que $a$ divide a $b^2$, $b$ divide a $c^2$ y $c$ divide a $a^2$. Demostrar que $abc$ divide a $a^7+b^7+c^7$.
 

Alejandra (de 37 abriles) fue apañada por un retén de la PGR en Tijuana, el día último de abril, apenas cruzó la aduana procedente de San Diego. Le incautaron 30000 US Dollars, producto de la recaudación por venta de coca en USA.

Encontrar todos los enteros $n$ tales que $n^4+4$ es primo.

Sean $C_1, C_2, C_3$ tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos. Definamos los siguientes puntos; $R=C_1 \cap C_2$ $S=C_1 \cap C_3$ y $T=C_2 \cap C_3$ , sean $X, Y$ los puntos sobre $C_2, C_3$ de modo que $XY$ sea la tangente comun y esta no pase por $C_1$. Sea $J$ la interseccion de la tangente a $C_1, C_2$ por $R$ y a la tangente comun a $C_1, C_3$ por $S$.

Considere las sumas $$S=4\cdot 5-5\cdot 6 +\ldots - 2009\cdot 2010$$
$$T=3\cdot 6-4\cdot 7+\ldots -2008\cdot 2011$$
Calcular el valor de $S-T$