Problemas

En un triángulo isósceles AOB, rectángulo en O, se eligen los puntos P,Q,S en los lados OB,OA,AB, respectivamente, y un punto R interior al triángulo, de tal manera que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado. Si la razón de áreas entre el cuadrado y el triángulo es 2/5, calcular la razón OP/OQ.

Sea $p$ un primo y $r$ un entero positivo. ¿Cuántos enteros positivos menores que $p^r$ son primos con $p^r$?

Encontrar las tres últimas cifras de $2009^{9999}$ (argumento fiador requerido).

Si $p$ es un primo impar y $a$ es primo con $p$, entonces $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1 \pmod{p}$. (Por ejemplo, todo cuadrado perfecto primo con 5 termina en 1 o en 9 o en 4 o en 6.)
 

Encontrar todos los números enteros positivos de cuatro cifras de la forma $n=abab$ (la primera y la tercera cifras son iguales, así como la segunda y la cuarta) y tales que el producto de sus cifras divide a $n^2$.

Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en enteros positivos de la ecuación diofantina $x^3=19+y^3$
 

Sea $n\geq2$ un entero. Los números $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son elementos del conjunto $\{-1,1\}$ y cumplen la ecuación $x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_nx_1=0$. Demostrar que $n$ es múltiplo de 4.

Decidir --con prueba-- si la ecuación diofantina $123x+426y=8$ tiene solución.
 

En un cubo de arista 6 los puntos medios B,D de dos aristas opuestas, y dos vértices opuestos A,C pero no en las aristas de los puntos medios B,D,  forman un cuadrilátero ABCD. Encontrar el área de ese cuadrilátero.