Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Un libro de regalo
Fui a la librería y me gustó un libro (Cómo ser feliz en 7 lecciones). Compré varios ejemplares para regalar en Navidad a mis amistades. Por eso la señorita me hizo un descuento de 10 pesos por cada copia. Pagué 1200 pesos. Sin ese descuento, con los 1200 hubiera comprado 4 libros menos.
Construir un cuadrado inscrito a otro
Sean ABCD un cuadrado y M un punto en el interior de éste. Construir con regla y compás un cuadrado PQRS con sus vértices sobre los lados de ABCD y que M esté sobre alguno de los lados de PQRS.
Incentro y circuncírculo
Dado un triángulo $ ABC $, sea $I$ su incentro y $ L $ el punto donde la linea $ AI $ intersecta al circuncirculo . Demuestra que $ AL/LI=(AB+AC)/BC.$
Un problema de lógica
Cuatro miembros de la banda XYZ comían un día juntos en una fonda chiquita. Eran dos mujeres, La Buchona y La Gitana, y dos hombres, El Talibán y El Cochiloco. Cada uno tenía un oficio diferente: Burrero, Gatillero, Guardaespaldas y Oreja. (La mesa era cuadrada y para cuatro.) Con los siguientes datos encontrar el oficio de cada quien.
![](https://www.matetam.com/sites/default/files/imagecache/teaser/magnum.jpg)
Un problema de edades
Hace 10 años Jesús tenía la misma edad que Lourdes tiene ahora. Dentro de 7 años Madonna tendrá dos veces la edad de Jesús, aunque actualmente tiene 3 años más que cuatro veces la edad de Lourdes.
![](https://www.matetam.com/sites/default/files/imagecache/teaser/edades.jpg)
Contar clasificando
¿Cuántos triángulos hay en la figura?
IX Olimpiada Norestense de Matemáticas (Problema 3)
El incírculo del triángulo $\triangle ABC$ es tangente al lado $AB$ en el punto $P$ y al lado $ BC $ en el punto $Q$. El círculo que pasa por los puntos $A,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $ BC $ en $ M $ y el círculo que pasa por los puntos $C,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $ AB $ en el punto $ N $.
Eliminación con dos operaciones
En cada cuadrado de un tablero rectangular hay un entero positivo. Se pueden modificar los números del tablero usando alguno de los siguientes movimientos.
--Multiplicar por 2 cada número de un renglón.
--Restar 1 a cada número de una columna.
Números en espiral
Considera la sucesión $\{1,3,13,31,\ldots\}$ que se obtiene al seguir en diagonal el siguiente arreglo de números en espiral.
Encuentra el número en la posición 100 de esa sucesión.
![](https://www.matetam.com/sites/default/files/imagecache/teaser/caracol02.png)
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 6)
Alrededor de una circunferencia se marcan 6000 puntos y cada uno se colorea con uno de 10 colores dados, de manera tal que entre cualesquiera 100 puntos consecutivos siempre figuran los 10 colores. Hallar el menor valor k con la siguiente propiedad: Para toda coloración de este tipo existen $k $ puntos consecutivos entre los cuales figuran los 10 colores.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 5)
La sucesión $a_n$ está definida por
$a_1=1, a_{2k}=1+a_k$ y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k\geq 1$.
Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esa sucesión.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 4)
Sea $ ABC $ un triángulo con $AB\neq AC$. Sean $ I $ el incentro de $ ABC $ y $ P $ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A $ con el circuncírculo de $ ABC $. La recta $PI$ intersecta por segunda vez al circuncírculo de $ ABC $ en el punto $J $. Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 3)
Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, con el mismo radio, que se cortan en $A $ y en $ B $. Sea $P $ un punto sobre el arco $AB$ de $C_2$ que está dentro de $C_1$. La recta $AP$ corta a $C_1$ en $C $, la recta $CB$ corta a $C_2$ en $D $ y la bisectriz del $\angle CAD$ intersecta a $C_1$ en $E $ y a $C_2$ en $L $. Sea $F $ el punto simétrico a $D $ con respecto al punto medio de $PE$. Demostrar que existe un punto $X $ que satisface $\angle XFL = \angle XDC = 30^\circ$ y $CX = O_1O_2$.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 2)
Para cada entero positivo $ n $ se define $a_n = n+m$, donde $ m $ es el mayor entero tal que $2^{2^m}\leq n2^n$. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión $a_n$.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 1)
Sea $ n $ un natural mayor que 2. Supongamos que $ n $ islas están ubicadas en un círculo y que entre cada dos islas vecinas hay dos puentes como en la figura:
![](https://www.matetam.com/sites/default/files/imagecache/teaser/u1/figura1.jpg)
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2008)
Demuestra que no existen enteros positivos $x,y$ tales que $x^{2008}+2008!=21^y$
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2004)
Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a,b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a+b$ y $201a+b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Olimpiada Iberoamericana (el 5 de 1985)
A cada número natural n se le asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfacen las siguientes condiciones:
- (i) $f(rs)=f(r)+f(s)$
- (ii) $f(n)=0$, si el dígito de las unidades de n es 3
- (iii) $f(10)=0$
Hallar $f(1985)$
Olimpiada Iberoamericana (el 1 de 1999)
Halla todos los enteros positivos que son menores que 1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 1987)
Se define la sucesión $p_n$ de la siguiente manera: $p_1=2$ y, para $n\geq2$, $p_n$ es el mayor divisor primo de $p_1p_2\ldots p_{n-1}+1$. Demostrar que $p_n$ es diferente de 5.