Problemas

Cuatro miembros de la banda XYZ comían un día juntos en una fonda chiquita. Eran dos mujeres, La Buchona y La Gitana, y dos hombres, El Talibán y El Cochiloco. Cada uno tenía un oficio diferente: Burrero, Gatillero, Guardaespaldas y Oreja. (La mesa era cuadrada y para cuatro.) Con los siguientes datos encontrar el oficio de cada quien.

¿Cuántos triángulos hay en la figura?
 

En cada cuadrado de un tablero rectangular hay un entero positivo. Se pueden modificar los números del tablero usando alguno de los siguientes movimientos.

--Multiplicar por 2 cada número de un renglón.
--Restar 1 a cada número de una columna.

Alrededor de una circunferencia se marcan 6000 puntos y cada uno se colorea con uno de 10 colores dados, de manera tal que entre cualesquiera 100 puntos consecutivos siempre figuran los 10 colores. Hallar el menor valor k con la siguiente propiedad: Para toda coloración de este tipo existen $k$ puntos consecutivos entre los cuales figuran los 10 colores.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$.  Sean $I$ el incentro de $ABC$ y $P$ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A$ con el circuncírculo de $ABC$. La recta $PI$ intersecta por segunda vez al circuncírculo de $ABC$ en el punto $J$. Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.

Para cada entero positivo $n$ se define $a_n = n+m$, donde $m$ es el mayor entero tal que $2^{2^m}\leq n2^n$. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión $a_n$.
 

Demuestra que no existen enteros positivos $x,y$ tales que $x^{2008}+2008!=21^y$

A cada número natural n se le asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfacen las siguientes condiciones:

• (i) $f(rs)=f(r)+f(s)$
• (ii) $f(n)=0$, si el dígito de las unidades de n es 3
• (iii) $f(10)=0$

Hallar $f(1985)$

Se define la sucesión $p_n$ de la siguiente manera: $p_1=2$ y, para $n\geq2$, $p_n$ es el mayor divisor primo de $p_1p_2\ldots p_{n-1}+1$. Demostrar que $p_n$ es diferente de 5.