Problemas

Tomando como diámetros los lados AB y AC del triángulo ABC, se trazan sendos círculos. Demostrar que su otro punto de intersección (aparte de A) está sobre el lado BC.

Sea $ ABCD$ un cuadrilatero convexo con $ BC=DA $ y además las rectas $ BC,DA $ no son paralelas. Consideremos dos puntos variables $ E,F $ sobre $ BC, DA $ respectivamente, que satisfacen $ BE=DF$ . Sea $P$ la interseccion de $ AC, BD.$  Las rectas $BD$ y $EF$ se intersectan en $Q$ y las rectas $AC$ y $EF$ se intersectan en $R$.

Determine el menor entero positivo $ N $  tal que la suma de sus dígitos sea 100 y la suma de $2N$ sea 110

Sea $MN$ una línea paralela al lado $ BC $ del triángulo $ ABC $, con $ M $ sobre el lado $AB$ y $ N $ sobre el lado $AC$. Las íineas $BN$ y $CM$ se intersectan en un punto $P$. Los circuncírculos de los triángulos $BPM$ y $CPN$ se intersectan en $P$ y $Q$. Demostrar que $\angle{BAQ}=\angle{CAP}$

Encontrar todas las soluciones en enteros positivos de la ecuación $1/x+1/y+1/z=1.$

Los puntos medios $L,M,N,O$ de los lados $QR,RS,SP,PQ$ de un cuadrado $PQRS$ se unen con con un segmento de recta a los vértices de éste de manera que se forme un cuadrado $P'Q'R'S'.$ Calcular la razón de áreas de los dos cuadrados.

Un triángulo rectángulo isósceles, con lados iguales de medida 2,  ha sido recortado de una hoja de papel que es gris de un lado y cuadriculada del otro.

Un lote de galletas contiene galletas con almendras, galletas con chocolate, galletas con los dos ingredientes y otras que no contienen ninguno de los dos. Se encontró que 3/10 tienen almendras, 1/2 tienen chocolate y 3/28 tienen ambos ingredientes. Sin embargo se encontró que 172 galletas no tienen ninguno de los dos ingredientes.

Una recta en el plano cartesiano pasa por el punto (3,0) y es tangente al círculo con centro en el origen de coordenadas y radio 1. Encontrar el punto en que la recta corta el eje vertical (de ordenadas).