Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Un sistema diofantino irracional
Determine todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos, tales que $x+y=a^n$ y $x^2+y^2=a^m$ para algunos enteros positivos $a, m, n.$
Máscaras de ángeles y de diablos
Se han colocado cuatro estudiantes en las esquinas de un cuarto. Se le ha colocado una máscara a cada uno. Cada estudiante es capáz de ver la máscara de los otros tres escépto la propia. Se les ha comento a los estudiantes que las mascaras que les pusieron provienen de un costal que sólo cuenta de 7 máscaras; 4 de ángeles y 3 de diablos.
Linea media bisectriz y cuerda
La cuerda del incírculo del triángulo ABC, definida por los puntos de tangencia P y Q en los lados b y c respectivamente, concurre con la línea media de los lados a y b y la bisectriz del ángulo B.
metodo chino del resto y ptf
Sea $f(n)=5n^{13}+13n^5+9an$. Encontrar el mínimo entero positivo$ a $ para el cual $f(n)$ es divisible entre $65$ para cada entero $ n $.
Menelao en monterrey 97
En un triángulo ABC, P y P' son dos puntos sobre el lado BC, Q sobre CA y R sobre AB, de tal manera que AR/RB = BP/PC = CQ/QA = CP'/P'B. Sea G el centroide del triángulo ABC y K el punto de intersección de AP' con RQ. Demostrar que P, G y K son colineales.
Método del residuo chino
Una compañía de n soldados es tal que:
– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.) – Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.
Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.
Dos segmentos iguales
Se tiene un triángulo agudo; en el cual existen dos círculos con diámetros AB y BC. Sean los puntos E y F donde cortan dichos círculos al otro respectivo lado. Se construyen las rectas AE y CF y los puntos P y Q donde ellas cortan a los círculos
Demostrar que BQ = BP
particionar un conjunto
Sea S={1,2,…,2n}. ¿De cuántas formas se puede particionar S en subconjuntos de dos elementos? Ejemplo: una posibilidad es {1,2},{3,4},…,{2n-1,2n}.
Separación de amigos
Demostrar que cualquier conjunto de personas puede dividirse en dos grupos, de tal manera que cada una de las personas tiene al menos la mitad de sus amigos en el otro grupo.
sobre consecutivos y cuadrados perfectos
Demostrar que el producto de 4 enteros consecutivos, sumándole 1, siempre es un cuadrado perfecto.
Sobre primos y cuadrados perfectos
Encontrar todos los primos p < q < r tales que
-
25pq + r = 2004 y
-
pqr + 1 es cuadrado perfecto.
Una progresion aritmetica de cuadrados
Demostrar que tres cuadrados perfectos en progresión aritmética tienen una diferencia constante que es múltiplo de 24.(En otras palabras, si $c^2 - b^2 = b^2 - a^2 = d$, entonces $ d $ es múltiplo de 24.)
Cuadrado perfecto y Factorial
Demostrar que $n! + 2004$ no es cuadrado perfecto para ningún entero positivo $ n $.
IMO 2008 (Problema 3)
Demuestra que existen infinitos enteros n tales que n2 + 1 tiene un divisor primo mayor que $2n+\sqrt{2n}$.
alturas de un paralelogramo y areas
Un paralelogramo ABCD tiene el angulo en D obtuso. Desde D se bajan perpendiculares a AB y BC, las cuales cortan a estos lados en M y N respectivamente. Si DB=DC=50 y DA=60 encontrar DM+DN.
Cuadrado perfecto
Encontrar todos los enteros positivos de cuatro cifras que son cuadrados perfectos y tales que son de la forma aabb, es decir, las primeras dos cifras se repiten así como las dos últimas.
Estudia después
En el mítin de la prepa $X$, convocado por la planilla “Estudia Después” están programados 5 oradores, digamos $A,B,C,D,E$. Los líderes impusieron la condición de que $A$ debe hablar antes que $E$. ¿De cuántas formas se puede ordenar los oradores?
Subconjuntos guapos
Sea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \}$ el conjunto de los primeros 11 enteros positivos. Llamemos guapo a todo subconjunto de $ A $ que cumple que si $2k$ es del subconjunto entonces también son del subconjunto $2k-1$ y $2k+1$. Encontrar el número de subconjuntos guapos de $ A $ que contienen a lo más un número par.
la clave secreta
Sea una clave que cumple las siguientes condiciones:
a) cinco cifras (dígitos)
b) el número es par
c) exactamente uno de los dígitos es impar
d) exactamente una de las cifras se repite, la que se repite es par y aparece en dos posiciones no consecutivas de la clave secreta
¿Cuántas claves (números de 5 cifras) son posibles bajo estas condiciones?
Clave secreta
Clave secreta
a) cinco cifras (dígitos)
b) el número es par
c)exactamente uno de los dígitos es impar
d)exactamente una de las cifras se repite, la que se repite es par y aparece en dos posiciones no consecutivas de la clave secreta
¿Cuántas claves (números de 5 cifras) son posibles bajo estas condiciones?