Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Clave secreta
Clave secreta
a) cinco cifras (dígitos)
b) el número es par
c)exactamente uno de los dígitos es impar
d)exactamente una de las cifras se repite, la que se repite es par y aparece en dos posiciones no consecutivas de la clave secreta
¿Cuántas claves (números de 5 cifras) son posibles bajo estas condiciones?
Lola la trailera
Un día Lola la trailera midió el tiempo que le tomó atravesar un túnel desde que entró a él hasta que salió por completo. Al otro día, ya de regreso traía un contenedor añadido el cual incrementó la longitud del trailer de 6 a 12 metros. Al cruzar el túnel la segunda vez, Lola redujo la velocidad en un 20% y midió el tiempo de nuevo, resultando que se tardó un 50% más que la primera vez. Encontrar la longitud del túnel en metros.
alturas de un paralelogramo y areas
Un paralelogramo ABCD tiene el ángulo en D obtuso. Desde D se bajan perpendiculares a AB y BC, las cuales cortan a estos lados en M y N respectivamente. Si DB=DC=50 y DA=60 encontrar DM+DN.
Dígitos finales, problema casi ateorico
Encontrar el entero positivo n más pequeño para el cual los últimos tres dígitos de 2007n (en la notación usual de base 10) son 837.
Sumar dígitos, problema ateórico
Un estudiante X forma un número entero escribiendo los números del 1 al 82 de manera ascendente, es decir, 1234567891011…808182. Encontrar la suma de los dígitos de este entero. R: 667
Los estudiantes con sombrero - Enunciado
Se han elegido tres estudiantes muy intelegentes para realizar un experimento: José, Valentina y Jesús. Los han acomadado en una fila: al frente, Jesús; atrás de él, Valentina; y al último, José. Les han hecho saber que de un grupo de dos sombreros rojos y tres verdes se elgió uno para cada uno. Como los sombreros fueron puestos al momento de estar formados José puede ver los colores de los sombreros de Valentina y Jesús, pero no el suyo. Valentina puede ver el color del sombrero de Jesús pero al igual que José, tampoco ve el suyo. Por último, Jesús no ve el color del sombrero de nadie.
divisibilidad y division de polinomios
Encontrar todos los enteros positivos $ n $ distintos de la unidad para los cuales la expresión $(n^3-1)/(n^2+7n-8)$ es un entero.
Ubicación del ortocentro con una sola altura
Sean AB cuerda de una circunferencia y P un punto en AB tal que AP=2PB. Sea DE la cuerda perpendicular a AB que pasa por P. Demostrar que el punto medio Q de AP es el ortocentro del triángulo ADE.
Indios y antropólogos
Una región indígena del país ha sido estudiada por 32 antropólogos, cada uno de los cuales ha estudiado a exactamente 5 indígenas. Por otra parte, cada indígena ha sido estudiado por exactamente 8 antropólogos. ¿Cuántos indígenas hay?
estatal 2008 a
Determinar todas las parejas $(x,y)$ de números enteros que verifican la ecuación:
$$\frac{1}{x}+\frac{2}{y} =\frac{8}{2x+y}$$
El mulo y la burra generalizado (Problema 4, regiones 2008)
Abel le dice a Bárbara: si me dieras n yo tendría dos veces lo que a ti te quede. Bárbara le contesta: si tú me dieras 2 yo tendría n veces lo que a ti te quede. Encontrar todos los valores enteros positivos posibles de n.
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema4
Francisco olvidó la clave de su tarjeta de banco y quiere realizar un retiro. Apenas recuerda que su clave contiene 4 dígitos y cumplen lo siguiente
- ninguno de los dígitos es 0 ni es mayor que 5
- no hay dígitos repetidos
- no hay dos dígitos adyacentes que sean números consecutivos
- la clave es un múltiplo de 4
Por ejemplo, el código 5413 no cumple porque el 4 y el 5 son cifras consecutivas, y el código 1135 no cumple porque se repite el 1. Francisco, que tiene muy mala suerte, probó todos los casos posibles y funcionó hasta que probó la última posibilidad. ¿Cuántos casos probó Francisco?
Solución de una cuadrática (Problema 3, regiones 2008)
Sea dado un segmento AB de longitud b. Por B se levanta una perpendicular a AB, y sobre ella se fija un punto O tal que BO=a/2. Se traza a continuación la circunferencia de centro O y radio a/2. La recta AO corta en P y Q a la circunferencia (P más cerca de A que Q). Si llamamos x a la longitud de AP, explicar por qué y cómo esta construcción resuelve la ecuación cuadrática $x^2+ax=b^2$. (Nota: de hecho sólo obtiene la raíz positiva de la ecuación, si es que existe.)
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 3
Juan tiene que llevar una ficha desde la esquina A hasta la esquina B, moviéndola por las líneas de la cuadrícula del tablero. La ficha puede moverse hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda (la ficha puede pasar varias veces por el mismo punto). Cada vez que la ficha se mueve en sentido horizontal, Juan anota el número de la columna por la que atraviesa. Cuando la ficha finalmente llega a la esquina B, Juan multiplica todos los números que anotó. Encuentra todos los caminos donde el producto de los números anotados por Juan es 8640. Justifica tu respuesta.
Problema 2, regiones 2008 (La cola del teatro)
En la cola de la taquilla del teatro están formadas 4 personas con un billete de 50 pesos cada una y 3 con uno de 100 pesos cada una. El boleto cuesta 50 pesos y la caja está vacía al empezar la venta de boletos. (Nota: las personas en la fila sólo se distinguen por el tipo de billete que traen, y cada una trae exactamente un billete.)
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a) ¿En cuántas ordenaciones diferentes la cola no se detiene por falta de cambio?
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b) ¿Cuántas ordenaciones diferentes hay –sin importar si detienen o no la cola?
Problema 1, regional 2008
La suma de las áreas de dos cuadrados es 400, y el lado de uno mide 3/4 del lado del otro.
a) ¿Cuánto mide el lado de cada uno de los cuadrados?
b) ¿Cuánto medirían si la suma de las áreas fuese 800?
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 6
En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema5
Hay que escribir una fila de 20 dígitos de manera que la suma de tres dígitos consecutivos de la fila sea siempre múltiplo de 5. ¿Cuál es la máxima cantidad de dígitos distintos que puede haber en la filal.
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 1
Se tiene un cubo con las seis caras de diferente color y deseamos colocar los números del 1 al 6 en las caras del cubo (uno en cada cara). ¿De cuántas formas podemos realizar el acomodo, si deseamos que la suma de los números que están en caras opuestas sea 7?
ONMAS 2008, Nivel 1, Problema 2
Sean G una circunferencia de centro O y G’ una circunferencia que pasa por O. Sean A y B los puntos en que G interseca a G’ y escojamos un punto C en G’ distinto de A y B. Tracemos las líneas AC y BC y llamemos D y E a los puntos donde estas líneas cortan a G, respectivamente. Demuestra que AE es paralela a DB.