Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Lugar geométrico del circuncentro
Un punto $P$ es interior al triángulo equilátero $ABC$ y cumple que el ángulo APC es de 120 grados. Sean $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $AP$ con $BC$. Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $MBN$ al variar $P$.
Nueve puntos en el plano
Dado cualquier conjunto de 9 puntos en el plano de los cuales no hay tres colineales, demuestre que para cada punto $P$ del conjunto, el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y a $P$ en su interior, es par.
Borrado selectivo y sucesivo de números en una lista
Los números enteros del 1 al 2002, se escriben en una pizarra en orden creciente 1, 2, . . . , 2001, 2002. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma $3k + 1$. En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma $3k +1$. Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?
Cobertura imposible
Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado 1 con cinco cuadrados iguales de lado menor o igual que 1/2.
Naves marcianas en una cuadrícula
En un tablero de $2000 \times 2001$ cuadros de coordenadas enteras $(x,y)$, $0\leq x \leq 1999$ y $0 \leq y\leq 2000$, una nave se mueve de la siguiente manera:
Número máximo de subsucesiones aritméticas crecientes
Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión $a_1 < a_2<...<a_n$ de $n > 3$ números reales.
Nota: Tres términos $a_i, a_j, a_k$ de una sucesión de números reales forman una progresión aritmética creciente si $a_i < a_j <a_k$ y $a_j - a_i = a_k - a_j$.
Desigualdad para cardinalidades de subconjuntos
Sean $S$ un conjunto de $n$ elementos y $S_1, S_2, \ldots, S_k$ subconjuntos de $S$ ($k\geq 2$), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos $r$ elementos. Demostrar que existen $i$ y $j$, con $1\leq i < j \leq k$ tales que la cantidad de elementos comunes de $S_i$ y $S_j$ es mayor o igual que $$r-\frac{nk}{4(k-1)}$$
Incírculo y condición suficiente para isósceles
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC, AC$ y $AB$ en los puntos $X, Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ intersectan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.
Demostrar que si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.
Números charrúas
Decimos que un número natural $n$ es "charrúa" si satisface simultáneamente las siguientes condiciones:
- Todos los dígitos de $n$ son mayores que 1.
- Siempre que se multiplican cuatro dígitos de $n$, se obtiene un divisor de $n$.
Demostrar que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.
Área de un hexágono bonito
Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud 1, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono.
- (a) Dado cualquier número $k$, mayor que 0 y menor o igual que 1, encontrar un hexágono bonito de área $k$.
- (b) Demostrar que el área de cualquier hexágono bonito es menor que 3/2.
Juego con un montón de piedras
Hay un montón de 2000 piedras. Dos jugadores juegan alternadamente, de acuerdo a las siguientes reglas:
- (a) En cada jugada se pueden retirar 1, 2, 3, 4 ó 5 piedras del montón.
- (b) En cada jugada esá prohíbido que el jugador retire la misma cantidad de piedras que retiró su oponente en la jugada previa.
- (c) Pierde el jugador que en su turno no pueda realizar una jugada válida.
Determinar cuál jugador tiene estrategia ganadora y encontrarla.
Geométrica por eliminación
De una progresión aritmética infinita $1, a_1, a_2\ldots,$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita: $1, a_{n_1}, a_{n_2},\ldots$ de razón $q$. Encontrar los posibles valores de $q$.
Problema diofantino
Encontrar todas las soluciones de la ecuación
$$(x + 1)^y - x^z = 1$$
Para $x, y, z$ enteros mayores que 1.
Circunferencias secantes y tangente común
Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$, más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ el punto diametralmente opuesto a $B$, y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demostrar que $M, D$ y $C$ están alineados.
Polígono regular de n lados
Se construye un polígono regular de $n$ lados ($n\geq 3$) y se enumeran sus vértices del 1 al $n$. Se trazan todas las diagonales del polígono. Demostrar que si $n$ es impar, se puede asignar a cada lado y a cada diagonal un número entero del 1 al $n$, tal que se cumplan simultáneamente las siguientes dos condiciones:
- (a) El número asignado a cada lado o diagonal es distinto a los asignados a los vértices que une.
- (b) Para cada vértice, todos los lados y diagonales que compartan dicho vértice
tienen números diferentes.
Sucesión periódica en la mediatriz de un segmento
Sean $A$ y $B$ puntos del plano y $C$ un punto de la mediatriz de $AB$. Se construye una sucesión $C_1, C_2, \ldots, C_n, \ldots$ de la siguiente manera: $C_1 = C$ y, para $n\geq 1$, si $C_n$ no pertenece al segmento $AB$, entonces $C_{n+1}$ es el circuncentro del triángulo $ABC_n$.
Determine todos los puntos $C$ tales que la sucesión $C_1, C_2, \ldots, C_n,\ldots$ está definida para todo $n$ y es periódica a partir de un cierto punto.
Nota: Una sucesión $C_1, C_2,\ldots, C_n,\ldots$ es periódica a partir de un cierto punto si existen enteros positivos $k$ y $p$ tales que $C_{n+p} = C_n$ para todo $n\geq k$.
Circuncírculo de un acutángulo y las alturas de éste
Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de centro $O$. Las alturas del triángulo son $AD, BE$ y $CF$. La recta $EF$ corta a la circunferencia en $P$ y $Q$.
- a) Pruebe que $OA$ es perpendicular a $PQ$.
- b) Si $M$ es el punto medio de $BC$, pruebe que $AP^2 = 2AD\cdot OM$
Factor primo de un número con dígitos 1,3,7,9
Sea $B$ un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto $\{1, 3, 7, 9\}$. Demuestre que $B$ tiene un factor primo mayor o igual que 11.
Nubes de circunferencias coloreadas
Sean $n$ puntos distintos, $P_1, P_2,\ldots, P_n$, sobre una recta del plano ($n \geq 2$). Considere todas las circunferencias de diámetro $P_iP_j$ ($1\leq i \leq j\leq n$) y coloreadas cada una con uno de $k$ colores dados. Llamamos $(n-k)$-nube a esta configuración.
Para cada entero positivo $k$, determine todos los $n$ para los cuales se verifica que toda $(n-k)$-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.
Nota: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.
Circunferencias bisecantes
Dadas dos circunferencias $M$ y $N$, decimos que $M$ biseca a $N$ si la cuerda común es un diámetro de $N$. Considere dos circunferencias fijas $C_1$ y $C_2$ no concéntricas.
- a) Pruebe que existen infinitas circunferencias $B$ tales que $B$ biseca a $C_1$ y $B$ biseca a $C_2$.
- b) Determine el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $B$.